答:β= arc tg( 动量守恒中的相对运动问题 物理情形:在光滑的水平地面上,有一辆车,车内有一个人和N个铅球,系统原来处于静止状态 现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出,车子和人将获得反冲速度。第一过程,保 持每次相对地面抛球速率均为v,直到将球抛完;第二过程,保持每次相对车子抛球速率均为v,直 到将球抛完。试问:哪一过程使车子获得的速度更大? 模型分析:动量守恒定律必须选取硏究对象之外的第三方(或第四、第五方)为参照物,这意味着 本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系,这样对“第二过程”的铅球动量表达,就形成了难点, 必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”,比较简单:N次抛球和将N个球一次性抛出是 完全等效的。 设车和人的质量为M,每个铅球的质量为m。由于矢量的方向落在一条直线上,可以假定一个正方 向后,将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正,且第一过程获得的速度大小为V1第二过程获得的 速度大小为V2 第一过程,由于铅球每次的动量都相同,可将多次抛球看成一次抛出。车子、人和N个球动量守恒。 0= Nm(-v)+MV. 得 Nm M 第二过程,必须逐次考查铅球与车子(人)的作用。 第一个球与(N-1)个球、人、车系统作用,完毕后,设“系统”速度为u。值得注意的是,根据 运动合成法则ⅴ球→地=V球车+Ⅴ车→地,铅球对地的速度并不是(-v),而是(-v+u)。它们动量守 恒方程为: 〔M+(N-1)m) M+Nm 第二个球与(N-2)个球、人、车系统作用,完毕后,设“系统”速度为u2。它们动量守恒方程为: 〔M+(N-1)m)u1=m(V+u2)+(M+(N-2)m)ua 得 M+ Nm M+(N-1)m 第三个球与(N-2)个球、人、车系统作用,完毕后,设“系统”速度为u。铅球对地的速度是(-V u3)。它们动量守恒方程为: M+(N-2)m)u2=m(-v+u)+(M+(N-3)m)u3 m 1+nm M+(N-1)mM+(N-2)m 以此类推(过程注意:先找u和u关系,再看u和v的关系,不要急于化简通分)……,u的通 式已经可以找出: M+ Nm M+(N-1)mM+(N-2)m M+m5 答：β= arc tg（  + tg m m m 2 1 2 ）。 三、动量守恒中的相对运动问题 物理情形：在光滑的水平地面上，有一辆车，车内有一个人和 N 个铅球，系统原来处于静止状态。 现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度。第一过程，保 持每次相对地面抛球速率均为 v ，直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为 v ，直 到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大？ 模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意味着， 本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系，这样对“第二过程”的铅球动量表达，就形成了难点， 必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”，比较简单：N 次抛球和将 N 个球一次性抛出是 完全等效的。 设车和人的质量为 M ，每个铅球的质量为 m 。由于矢量的方向落在一条直线上，可以假定一个正方 向后，将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为 V1 第二过程获得的 速度大小为 V2 。 第一过程，由于铅球每次的动量都相同，可将多次抛球看成一次抛出。车子、人和 N 个球动量守恒。 0 = Nm(-v) + MV1 得：V1 = M Nm v ① 第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用。 第一个球与（N–1）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为 u1 。值得注意的是，根据 运动合成法则 v球→地 = v球→车 + v车→地    ，铅球对地的速度并不是（-v），而是（-v + u1）。它们动量守 恒方程为： 0 = m(-v + u1) +〔M +(N-1)m〕u1 得：u1 = v M Nm m + 第二个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为 u2 。它们动量守恒方程为： 〔M+(N-1)m〕u1 = m(-v + u2) +〔M+(N-2)m〕u2 得：u2 = v M Nm m + + v M (N 1)m m + − 第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为 u3 。铅球对地的速度是（-v + u3）。它们动量守恒方程为： 〔M+(N-2)m〕u2 = m(-v + u3) +〔M+(N-3)m〕u3 得：u3 = v M Nm m + + v M (N 1)m m + − + v M (N 2)m m + − 以此类推（过程注意：先找 uN 和 uN-1 关系，再看 uN 和 v 的关系，不要急于化简通分）……，uN 的通 式已经可以找出： V2 = uN = v M Nm m + + v M (N 1)m m + − + v M (N 2)m m + − + … + v M m m +