6期 莫惠栋：回归分析中的模型偏差及其防止 711 但是，如果Y依X的真实关系不是(1)式，而是 E(Y)=XxBxi)Xixo BiaxD (4) 这就意味着我们在分析模型式(1)中忽略了X'B项，含q个回归系数。它将会产生什么后果 呢可以导得： E(b)=(X'X)X'E(Y)=(X'X)X'(XB+X'B) =(X'X)-X'XB+(X'X)-X'XB.=B+AB.. ⊙ (5)式中的 A=(X'x)-X'X' (6) 称为混名矩阵或偏差矩阵(alias or bias matrix)们。 以上结果说明：只有在B”=0时（分析模型与真实模型相符），b才是B的无偏估计数： 如果B≠0（分析模型和真实模型不相符），b不再是B的无偏估计数。在后一种情况下，对 E(Y)的估计应是 =Xb+XAb, (7) 而不是 Y=Xb. (8) 这里的 (·-)=XAb (9) 就称为回归模型的偏差效应(bias effect)。 2模型偏差的估计 由于偏差效应XAb'是由B≠0产生的，所以一般化的方法是由(5)和(6)式估计模型偏 差。以下举两例说明。 2.1例1 设分析模型是E(Y)=月，十月X,(一元线性回归)，而真实模型是E(Y)=B。十 3X1十B2X2(二元线性回归)，并且X=(一1,0,1)，X2=(0,1,0)。则应用分析模型会造成 怎样的偏差？ 此例的情况是： 0 1 B X·B 由于 cx--- 故由(6)式得： 4-a- 再由(5)式得： 万方数据 -+a-+但是!如果 "依 #的真实关系不是$%&式!而是 ’$(&) *$+,-&.$-,%&/ *0 $+,1&.0 $1,%&2 $3& 这就意味着我们在分析模型式$%&中忽略了 *0 .0项!含 1个回归系数4它将会产生什么后果 呢5可以导得6 ’$7&) $*8*&9% *8’$(&) $*8*&9% *8$*./ *0 .0 & ) $*8*&9% *8*./ $*8*&9% *8*0 .0 ) ./ :.0 2 $;& $;&式中的 :) $*8*&9% *8*0 $<& 称为混名矩阵或偏差矩阵$=>?=@ABC?=@D=EB?F&G%H 4 以上结果说明6只有在 .0 )I时$分析模型与真实模型相符&!7才是 .的无偏估计数J 如果 .0 KI$分析模型和真实模型不相符&!7不再是 .的无偏估计数4在后一种情况下!对 ’$(&的估计应是 ( L0 ) *7/ *:70 ! $M& 而不是 ( L) *72 $N& 这里的 $( L0 9 ( L&) *:70 $O& 就称为回归模型的偏差效应$C?=@PQQPRE&4 S 模型偏差的估计 由于偏差效应 *:70是由 .0 KI产生的!所以一般化的方法是由$;&和$<&式估计模型偏 差4以下举两例说明4 S2T 例 T 设分析模型是 ’$(&)UI/U%*%$一元线性回归&!而真实模型是 ’$(&)UI/ U%*%/UV*V$二元线性回归&!并且 *8 %)$9%!I!%&!*8 V)$I!%!I&4则应用分析模型会造成 怎样的偏差5 此例的情况是6 ’$(&) ’ "% "V " W X Y [Z ) % 9 % I % I % W X Y % % IZ UI U% U W X Y VZ ) % 9 % % I W X Y % %Z UI U W X Y %Z / W X Y Z I % I UV) *./ *0 .0 2 * . *0 .0 2 由于 $*8*&9%) [ I \I V] 9% ) %^[ I \I %^V]!*8*0 ) % % % \9 % I %] W X Y Z I % I ) \ ] % I 2 故由$<&式得6 :) %^[ I \I %^V]\ ] % I ) %^[ \I]2 再由$;&式得6 ’ _I _ W X Y %Z ) UI U W X Y %Z / %^[ \I ]UV) UI/ UV^[ U W X Y % Z J 即 <期 莫惠栋6回归分析中的模型偏差及其防止 M%% 万方数据