81可微性 (1)若在inD内有f2=0,试问f在D上有何特性 (2)若在iD内有f=f≡0,f又怎样? (3)在(1)的讨论中,关于∫在D上的连续性假设可否省略?长方 形区域可否改为任意区域? 解(1)二元函数∫在D=[a,b]×[c,d]上连续,若在intD内 有fx≡0,则f( 这是因为对intD内任意两点(x1,y),(x2,y)由中值定理知 f(x2,y)-f(x1,y)=f2(x1+0(x2-x1),y)(x2-x1)=0 即f(x2,y)=f(x1,y),由(x1,y),(x2,y)的任意性知f(x,y)= p(y) (2)若在切iD内有f=f=0,则f(x,y)=常数 事实上,对训D内任意两点(x1,y1),(x2,y2)由中值定理(课本 P1页)知存在 6=x1+a(x2-x1),n=y1+B2(y-y1)0<a1,2<1 使得 f(z2,y2)-f(x1,yn)=f(,y)(x2-x1)+f(x1,n)(y2-y) 因为fx=f≡0所以f(x2,y2)≡f(x1,y1)由(x1,y1),(x2,y2)的 任意性知f(x,y)=常数 (3)在(1)的讨论中,关于f在D上的连续性假设不能省略否则 结论不一定成立例如在矩形区域D=(-2,是]×(0,2]上二元函 数 r(x,y)=|9x>0,)>0 0,D中其它部分 在intD内fx≡0,可是不连续,f(1,1)=1,f(-1,1)=0,显然f 与x有关,结论不成立 在(1)的讨论中,长方形区域不能改为任意区域,否则结论不一定 成立例如:设 Ⅰ={(x,y)1x=0,y≥0},D=R2-1,二元函数