很容易看到，找到了2”一1形式的素数，也就发现了新的完美 数。 形如2”一1的素数还长期占据了人们寻找到的最大素数的光荣 榜（仅在1989年后被39158×2216193-1夺走三年），因为判断这 样一个数是素数的方法比判断一个差不多大小的其他类型数是素数 的方法要简单得多。 对2”一1型素数的搜寻之旅就这样出发了，先后投入这个漫漫 长途的就有数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉 高斯、哈代、图灵…这一个个闪光的名字正如暗夜前行的火炬手， 照亮了人类通往未知的道路。 历史的天空闪烁几颗星 现在，让我们坐上时间机器，回到过去，重新浏览这来路风光 吧。 1456年，又一个没有留下姓名的人发现了第5个2-1型的素 数：23-1。若是你就降生在十五世纪，或许这次发现的光荣将归属 于你。只是，你更有可能犯下和这个时代的人们一样的错误，以为 对于所有的素数P,2”一1都是素数。要知道，这个错误是一百年之 后，直到1536年，才由雷吉乌斯(Hudalricus Regius)打破的。他指 出，21-1=2047=23×89，不是素数。 不过你的莽撞完全可以得到谅解，在黑暗中寻找的数学家正如 年轻人一样，犯下的错误连上帝都会原谅。第一个对这种类型的素 数进行整理的皮特罗·卡塔尔迪(Pietro Cataldi)在他在I603年宜布 的结果中就言之凿凿地说：对于P=17,19,23,29,31和37,2 一1是素数。只可惜，37年后，他的六个结果就被推翻了两个，费 尔马使用著名的小费尔马（不是那个更著名的大费尔马定理）定理 证明了卡塔尔迪关于P=23和37的结论是错误的。 不知道下面的事实会不会让你联想到“屋漏偏逢连夜雨”呢？ 大约一百年后，1738年，欧拉证明了卡塔尔迪的结果中P=29也是 错误的。幸好，欧拉又证明了P=31的结论是对的 很 容 易 看 到 ， 找 到 了 2 P－ 1 形 式 的 素 数 ， 也 就 发 现 了 新 的 完 美 数 。 形 如 2 P－ 1 的 素 数 还 长 期 占 据 了 人 们 寻 找 到 的 最 大 素 数 的 光 荣 榜 （ 仅 在 1989 年 后 被 39158×2216193－ 1 夺 走 三 年 ）， 因 为 判 断 这 样 一 个 数 是 素 数 的 方 法 比 判 断 一 个 差 不 多 大 小 的 其 他 类 型 数 是 素 数 的 方 法 要 简 单 得 多 。 对 2 P－ 1 型 素 数 的 搜 寻 之 旅 就 这 样 出 发 了 ， 先 后 投 入 这 个 漫 漫 长 途 的 就 有 数 学 大 师 费 马 、 笛 卡 尔 、 莱 布 尼 兹 、 哥 德 巴 赫 、 欧 拉 、 高 斯 、哈 代 、图 灵 „ „ 这 一 个 个 闪 光 的 名 字 正 如 暗 夜 前 行 的 火 炬 手 ， 照 亮 了 人 类 通 往 未 知 的 道 路 。 历 史 的 天 空 闪 烁 几 颗 星 现 在 ， 让 我 们 坐 上 时 间 机 器 ， 回 到 过 去 ， 重 新 浏 览 这 来 路 风 光 吧 。 1456 年 ， 又 一 个 没 有 留 下 姓 名 的 人 发 现 了 第 5 个 2 P－ 1 型 的 素 数 ：2 1 3－ 1。若 是 你 就 降 生 在 十 五 世 纪 ，或 许 这 次 发 现 的 光 荣 将 归 属 于 你 。 只 是 ， 你 更 有 可 能 犯 下 和 这 个 时 代 的 人 们 一 样 的 错 误 ， 以 为 对 于 所 有 的 素 数 P，2 P－ 1 都 是 素 数 。要 知 道 ，这 个 错 误 是 一 百 年 之 后 ， 直 到 1536 年 ， 才 由 雷 吉 乌 斯 (Hudalricus Regius)打 破 的 。 他 指 出 ， 2 11－ 1＝ 2047＝ 23×89， 不 是 素 数 。 不 过 你 的 莽 撞 完 全 可 以 得 到 谅 解 ， 在 黑 暗 中 寻 找 的 数 学 家 正 如 年 轻 人 一 样 ， 犯 下 的 错 误 连 上 帝 都 会 原 谅 。 第 一 个 对 这 种 类 型 的 素 数 进 行 整 理 的 皮 特 罗 ·卡 塔 尔 迪 (Pietro Cataldi)在 他 在 1603 年宣布 的 结 果 中 就 言 之 凿 凿 地 说 ： 对 于 P=17， 19， 23， 29， 31 和 37， 2 P － 1 是 素 数 。 只 可 惜 ， 37 年 后 ， 他 的 六 个 结 果 就 被 推 翻 了 两 个 ， 费 尔 马 使 用 著 名 的 小 费 尔 马（ 不 是 那 个 更 著 名 的 大 费 尔 马 定 理 ）定 理 ， 证 明 了 卡 塔 尔 迪 关 于 P＝ 23 和 37 的 结 论 是 错 误 的 。 不 知 道 下 面 的 事 实 会 不 会 让 你 联 想 到 “ 屋 漏 偏 逢 连 夜 雨 ” 呢 ？ 大 约 一 百 年 后 ， 1738 年 ，欧 拉 证 明 了 卡 塔 尔 迪 的 结 果 中 P＝ 29 也 是 错 误 的 。 幸 好 ， 欧 拉 又 证 明 了 P＝ 31 的 结 论 是 对 的