s6 Green公式及其应用 1.计算双扭线(x2+y2)2=a2(x2-y2)(a>0)所围平面图形的面积。 2.利用 Green公式计算下列曲线积分 (1) +y2x+川xy+l(x+√x2+y2),其中L是以点A(1,1),B(2,2)和 C(1,3)为顶点的三角形的正向边界; (2) Jle'sin y-bx+y)k+ le cos y-apy(a>0,b>0),其中L为上半圆 弧y=√2ax-x2,方向自(2a,0)到(0,0) 3)4x+y2,其中是圆周(x-+2=4,定向为迎时针方向 3计算曲线积分(x2+1-smx)- ecos xcx,其中L是抛物线y=x2从点 (0,0)到(1,1)的一段。 4证明曲线积分(x+2)+在半平面D=(xy)1x+y>0上与路径无关 x 并计算∫(+2),这里积分路径不与直线y=-x相交。 5.设D={(xy)1y>0,问微分形式o=a-h 在D上是否有原函数? 若有,试求之 6.选取a,b,使得微分形式=(+2+ax)-(x2+2xy+b2)为某个 (x-+y 2)2 元函数u的全微分,并求出u 7.设二元函数Q在全平面上具有连续偏导数,且在Oxy平面上曲线积分§6 Green 公式及其应用 1．计算双扭线 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x  y  a x  y （ a  0 ）所围平面图形的面积。 2．利用 Green 公式计算下列曲线积分： （1）       L x y dx y[xy ln(x x y )]dy 2 2 2 2 ，其中 L 是以点 A(1, 1) ，B(2, 2) 和 C(1, 3) 为顶点的三角形的正向边界； （2）      L x x [e sin y b(x y)]dx [e cos y ax]dy （ a  0，b  0 ），其中 L 为上半圆 弧 2 y  2ax  x ，方向自 (2a, 0) 到 (0, 0) ； （3）    L x y xdy ydx 2 2 4 ，其中 L 是圆周 ( 1) 4 2 2 x   y  ，定向为逆时针方向； 3.计算曲线积分     L y y (x 1 e sin x)dy e cos xdx 2 ，其中 L 是抛物线 2 y  x 从点 (0, 0) 到 (1, 1) 的一段。 4．证明曲线积分     L x y x y dx ydy 2 ( ) ( 2 ) 在半平面 D {(x, y) | x  y  0} 上与路径无关， 并计算   (2, 1)   (1, 2) 2 ( ) ( 2 ) x y x y dx ydy ，这里积分路径不与直线 y  x 相交。 5．设 D {(x, y) | y  0} ，问微分形式 2 2 3x 2xy 3y ydx xdy      在 D 上是否有原函数？ 若有，试求之。 6．选取 a ，b ，使得微分形式 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 ) ( 2 ) x y y xy ax dx x xy by dy         为某个 二元函数 u 的全微分，并求出 u 。 7．设二元函数 Q 在全平面上具有连续偏导数，且在 Oxy 平面上曲线积分