A"a=A(A A( (Aa) (a) 其次,设 f(x)=a axt a LA+aE f(a)=and f(A)·a=anA"a+…+a1Aa+a0Ea a12+a0) 所以,f(4)是f(4的特征值. 例5设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;A对应于特征值1、2的特征向量分别是 a1=(-1,-1,1 (1,-2,-1) (1)求A对应于特征值3的特征向量 (2)求矩阵A 解(1)设A对应于3的特征向量为 因为A是实对称矩阵,故不同特征值的特征向量a1,22,3相互正交,即有 a 0 X1 0 其基础解系为a=(L0,1),故A对应于特征值3的特征向量为a1=k(1,0.1),(k≠0) P-AP=0 2 0 (2)记 111,则应有 003 6 于是 求得m A  = A( m−1 A ) = A( m−1  ) = m−1  (A) = m−1  () = m   其次, 设 1 0 f (x) a x a x a n = n ++ + f A a A a A a E n n 1 0 ( ) = ++ + 1 0 f ( ) a a a n  = n ++  + f A a A a A a Ea n n 1 0 ( ) =  ++  + = n an  ++ a1 ＋ 0 a  ( ) a a1 a0 n = n ++  +  = f ()  所以, f () 是 f (A) 的特征值. 例 5 设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3；A 对应于特征值 1、2 的特征向量分别是 T ( 1, 1, 1) 1 = − − , T (1, 2, 1) 2 = − − （1）求 A 对应于特征值 3 的特征向量； （2）求矩阵 A. 解 （1）设 A 对应于 3 的特征向量为 T (x , x , x ) 3 = 1 2 3 因为 A 是实对称矩阵, 故不同特征值的特征向量 1 2 3  , , 相互正交, 即有     = − − = = − − + = 2 0 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x T T     其基础解系为 T  = (1, 0, 1) , 故A对应于特征值3的特征向量为 T k(1, 0, 1) 3 = , (k  0) ； （2）记             − − − = = 1 1 1 1 2 0 1 1 1 P 1  2  3 , 则应有           = − 0 0 3 0 2 0 1 0 0 1 P AP 于是           = = 0 0 3 0 2 0 1 0 0 A P , 求得           − − − − − = − 3 0 3 1 2 1 2 2 2 6 1 1 P