例2已知可逆矩阵A的特征值与特征向量,求A-与A的特征值与特征向量 解设λ是A的特征值,a是A对应于λ的特征向量,则由A可逆且a≠0可知 Aa=Ag≠0 于是A≠0 且 I(Aa)=a a=1 故λ是A-的特征值,a是A-的特征向量 14,A=14 所以,Aa=4|AaAa 即,元是A的特征值,a是A的特征向量 例3设A是正交矩阵且4-1,证明:-1是A的一个特征值 证 (-1)E-A|=|-AA-A|=|4||-47-E =|A||(E-A)|=-|(-1)E-A 所以,1(-1)E-A=0,即,-1是A的一个特征值 要证明是矩阵A的特征值,可以设法证明存在列向量a,使x=0a,也可以设法 证明是A的特征多项式f()=AE-4的根.同样,要证明a是A对应于特征值的 特征向量,也可以设法证明d=40a或a是齐次线性方程组[E-1X=0的解向量 例4设元是矩阵A的特征值,f(x)是x的多项式,试证:f()是f(A)的特征值 证首先证明若λ是A的特征值,则是Am的特征值 由A=a可得fa=4(4a)=4(a)=(la)=2a 设ma=1m-a,则例 2 已知可逆矩阵 A 的特征值与特征向量, 求 −1 A 与 * A 的特征值与特征向量. 解 设  是 A 的特征值,  是 A 对应于  的特征向量, 则由 A 可逆且   0 可知 A =   0 于是   0. 且 1 1 ( ) − − A A = A () 即   = − ( ) 1 A , = −  1 A  1  故  1 是 −1 A 的特征值,  是 −1 A 的特征向量. 又, 1 * * 1 , | | | | − 1 − = A A = A A A A , 所以,   * 1 | | − A = A A | | 1 A   即, | | 1 A  是 * A 的特征值,  是 * A 的特征向量. 例 3 设 A 是正交矩阵且 | A|= −1 , 证明： −1 是 A 的一个特征值. 证 | ( 1)E A| | AA A| | A| | A E | T T − − = − − = − − | A| | ( E A) | | ( 1)E A| T = − − = − − − 所以, | (−1)E − A |= 0 , 即, −1 是 A 的一个特征值. 要证明  0 是矩阵 A 的特征值, 可以设法证明存在列向量 , 使 A =  0 , 也可以设法 证明  0 是 A 的特征多项式 f () =| E − A | 的根. 同样, 要证明  是 A 对应于特征值  0 的 特征向量, 也可以设法证明 A =  0  或  是齐次线性方程组 [0E − A]X = 0 的解向量. 例 4 设  是矩阵 A 的特征值, f (x)是 x 的多项式, 试证：f ()是 f (A)的特征值. 证 首先证明若  是 A 的特征值, 则 m  是 m A 的特征值. 由 A =   可得 A = A(A ) = A 2  (  )=  (A)= 2   设 m−1 A  = m−1  , 则