得分 五、(10分)已知y=xe2+e2x V2=re te-r 评阅人 y3=xe te 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三 个解,试求此微分方程 解:根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识,由题设可知:e与eˉ是 相应齐次方程两个线性无关的解,且Xe是非齐次的一个特解因此可以用下述两种解 法 (6分) 解法一:故此方程式y-y-2y=f(x) (8分) 将y=xe代入上式,得 f(x)=(xe)"(xey'-2xe=2e+xe-e-xe'-2xe=e-2xe 因此所求方程为y-y-2y=e-2xe (10分) 解法二:故y=xe'+ce2x+c2e-,是所求方程的通解, (8分) 由y'=e+xe+2ce2-c2e,y"=2e'+xe+4ce2+c2e,消去c1,c2得所求方程 为y-y-2y=e-2xe (10分) 得分 六、(10分)设抛物线y=ax2+bx+2lnc过原点,当0≤x≤1 评阅人 时,y≥0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面 积为3试确定a,b,C使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小 解:因抛物线过原点,故c 由题设有(ax2+bxk=+,=1即b2=2- 而=x(ax2+b)=nha+ab+6 =x[a2+a(1-a)+·(1-a)2] (5分) du 128 =丌-a+ a)]=0 得 代入b的表达式得b=3.所以y≥0, 第4页(共6页)第 4 页（ 共 6 页） 五 、（ 10 分）已知 2 1 x x y = xe e + ， 2 x x y xe e− = + ， 2 3 x x x y xe e e− = +− 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三 个解，试求此微分方程. 解：根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知： 2x e 与 x e− 是 相应齐次方程两个线性无关的解，且 x xe 是非齐次的一个特解.因此可以用下述两种解 法 ………………………………………………………….…...……(6分) 解法一： 故此方程式 y′′ ′ −− = y y fx 2 () ………………….……..……..……(8 分) 将 x y = xe 代入上式，得 () ( ) ( ) 2 2 2 2 x x x x xx x x x x f x xe xe xe e xe e xe xe e xe = − − = + −− − =− ′′ ′ ， 因此所求方程为 2 2 x x y′′ ′ −− = − y y e xe . ……………………………………… …(10 分) 解法二：故 2 1 2 x x x y xe c e c e− =+ + ，是所求方程的通解，……………………(8 分) 由 2 1 2 2 x x xx y e xe c e c e− ′ =+ + − ， 2 1 2 2 4 x x xx y e xe c e c e− ′′ =++ + ，消去 1 2 c c , 得所求方程 为 2 2 x x y′′ ′ −− = − y y e xe . ……………………………………………………....…(10 分) 六、（10 分）设抛物线 2 y = ++ ax bx c 2ln 过原点，当 0 1 ≤ ≤x 时， y ≥ 0，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x =1所围图形的面 积为 1 3 . 试确定abc ,,, 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小. 解： 因抛物线过原点，故 c =1 由题设有 1 2 0 1 ( ) 323 a b ax bx dx + =+= ∫ .即 2 (1 ) 3 b a = − ，………..………….…(2 分) 而 1 22 2 2 0 111 ( )[ ] 523 V ax bx dx a ab b = + = ++ π π ∫ 1 1 14 2 2 [ (1 ) (1 ) ] 5 3 39 = + − +⋅ − π a aa a . …………………….…………….…(5 分) 令 2 12 8 [ (1 )] 0 5 3 3 27 dv aa a da = +− − − = π ， 得 5 4 a = − ，代入 b 的表达式 得 3 2 b = . 所以 y ≥ 0， ……………..…………(8 分) 得 分 评阅人 得 分 评阅人