得分 四、(15分)已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤x,0≤y≤m}, 评阅人 L为D的正向边界,试证: d 证法一:由于区域D为一正方形,可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算 -sIn. (1)左边 dx=t(sinx +e sin )dx (4分) 右边=xmb-∫xemh=!(e"+e-m)M (8分) 所以∮xd-ymdk=yxeh- edx (10分) (2)由于 ≥2+ (12分) ∮xd-ye-ar=xJ (15分 证法二:(1)根据 Green公式,将曲线积分化为区域D上的二重积分 迟出 ax=JJc Ds (4分) xe i dy-yein dr=[(e -siny +e n x6 (8分) 因为关于y=x对称,所以∫(em+em6=』(m+e-)Mb,故 (10分) (2)由 2∑≥2+t2 xe-形a=(esy+sndo=l(enx+ ende6≥ (15分 第3页(共6页)第 3 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 四、（15 分）已知平面区域 D xy x y = {( , ) | 0 ,0 } ≤≤ ≤≤ π π ， L 为 D 的正向边界，试证： （1） sin sin sin sin y x yx L L xe dy ye dx xe dy ye dx − − −= − v v ∫ ∫ ； （2） sin sin 2 5 2 y x L xe dy ye dx π − − ≥ v∫ . 证法一：由于区域 D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算. (1) 左边 0 sin sin sin sin 0 0 ( ) y x xx e dy e dx e e dx π π π π ππ − − = − =+ ∫∫ ∫ ， ...…(4 分) 右边 0 sin sin sin sin 0 0 ( ) y x xx e dy e dx e e dx π π π π ππ − − = − =+ ∫∫ ∫ ，……..…（8 分） 所以 sin sin sin sin y x yx L L xe dy ye dx xe dy ye dx − − −= − v v ∫ ∫ . ……………………………(10 分) (2) 由于 sin sin 2 2 sin x x ee x − + ≥+ ， …….…………………….…...(12 分) sin sin sin sin 2 0 5 ( ) 2 y x xx L xe dy ye dx e e dx π π π − − − = +≥ v∫ ∫ . ……..…….…(15 分) 证法二：（1）根据 Green公式，将曲线积分化为区域 D 上的二重积分 sin sin sin sin ( ) y x yx L D xe dy ye dx e e dδ − − − =+ v∫ ∫∫ ……………………………...… (4 分) sin sin sin sin ( ) y x yx L D xe dy ye dx e e dδ − − −= + v∫ ∫∫ ………………………………(8 分) 因为 关于 y = x 对称，所以 sin sin sin sin ( )( ) y x yx D D e e d e ed δ δ − − + =+ ∫∫ ∫∫ ，故 sin sin sin sin y x yx L L xe dy ye dx xe dy ye dx − − −= − v v ∫ ∫ . ………………….…… (10 分) (2) 由 2 2 0 2 2 (2 )! n t t n t ee t n ∞ − = + = ≥+ ∑ sin sin sin sin sin sin 2 5 ( )( ) 2 y x yx xx L DD xe dy ye dx e e d e e d δ δ π −− − − =+ =+ ≥ v∫ ∫∫ ∫∫ . …….……….……(15 分) 得 分 评阅人