定理4(比值审敛法)若正项级数1的后项与前项之比值的极限等于P 收敛:>1(或以)时级数发散:O=1时级数可能收敛也可能发散。 证明(1)当P 个适当正数E,使尸+E=y<1,依极限 因此 <‰ 这样,级数4+1+m+2++3+…各项小于收敛的等比级数 xm+yn+y2un+…(y<1的各对应项,所以它也收敛。由于 ∑ 只比它多 (2)当>1,取一个适当正数e,使-E>1,依极限定义,当n≥m时,有x ltm 可知x-1发散,类似可证,当 1发散。 3)当=1时,由P-级数可知结论正确。 例4判别级数幻x2的收敛性 +1) 2 (n+1) +1 1+ 2 = lim ∴ 故级数收敛 定理5(根值审敛法)设1“为正项级数,如果它的一般项x的n次根的极限等 <1时,级数收敛,9>1(或mv,=+0)时级数发散,=1时级数可能收敛也 证明与定理4相仿,这里从略。 例5判别级数 +1)的收敛性 1 2n+12所以级数收敛。 ∑ 定理6(极限审敛法)设x1为正项级数, 2>0 In (1)如果x→ (或x→ ),则级数x1发散; mn2y2=l(0≤}<+) ∑ (2)如果p>1,而→ 则级数x-1收敛。定理4（比值审敛法）若正项级数 的后项与前项之比值的极限等于 ： 收敛； （或 ）时级数发散； 时级数可能收敛也可能发散。 证 明 ⑴ 当 ， 取 一 个 适 当 正 数 ， 使 ， 依 极 限 定 义 ， ，因此， 这样，级数 各项小于收敛的等比级数 的各对应项，所以它也收敛。由于 只比它多 敛。 ⑵ 当 ，取一个适当正数 ，使 ，依极限定义，当 时，有 而 ，可知 发散，类似可证，当 ， 发散。 ⑶ 当 时，由 级数可知结论正确。 例4 判别级数 的收敛性 解 ∵ ∴ 故级数收敛。 定理5（根值审敛法）设 为正项级数，如果它的一般项 的 次根的极限等 时，级数收敛， （或 ）时级数发散， 时级数可能收敛也可 证明与定理4相仿，这里从略。 例5 判别级数 的收敛性 解 所以级数收敛。 定理6（极限审敛法）设 为正项级数， （1）如果 （或 ），则级数 发散； （2）如果p>1,而 则级数 收敛