194 程 带来误差 采用分离变量法， 可求得微分方程式(la)的通 围护结构温度场的分布和变化规律除与保温 解为 隔热层的构造和热工特性有关外，还与室外空气温 T(x.t)=(C coshx+C2 sinhkx)e (2) 度和太阳辐射强度有关。室外空气温度和太阳辐射 式中， C2为积分常数 强度具有逐日、逐年周期变化的特性，利用傅里叫 由式(1b)式(1c),得： 级数，可以将这 温度作用简化成谐波热作用和利 C cosh0+C2 sinh0=0 (3a 态温度作用叠加凶。稳态温度作用可以用很简单的 (C cosh+C:sinh)e=Acos(ar)(3b) 线性分布来计算多层墙的温度场，而非稳态热作用 由式(3)，得 度场计算却非常麻。在建热丁设计中，尽管 C.sinbke =Acos(o) (4) 可以用谐波反应法、反应系数法、乙 递函数法 多种方法来研究围护结构的传热过程3-间，但这些 显然，若k为实数，式(4)左边不是周期函数 等号不可能成立，因而k不可能取实数。若设 方法只根据采暖通风的要求得出了围护结构表面 k=α+í为一复数，则方程的解为一复变函数。 温度和热流的变化规律，忽视了围护结构温度场的 变化规律 为此，改变边界条件式(1c为： 本文采取变量分离法求解一侧温度恒定为0、 T(x,t)s= (5) 另一侧作用谐波热作用下单层培的温度场，并通过 值得注意的是，实际的边值是式（⑤）的实部。 式(4)改写为： 叠加原理得到两到均作用进波热时单层墙的温度 场， 在不考 接触面的热阻和热容后建立在诰波 Ca sinh=Aci (6 作用下的多层墙温度场的求解方法。 式(6)对任意1均满足的条件是a=i,或 1 室外谐波热作用室内恒温时 瓜=土品0+).另外，当1=0时： 单层墙的温度场 C2 将单层墙看成是匀质无限大平板，单层培两侧 sinh (7) 的热传导问题便简化为一维热传导问题。一般地， 将系数C1、C2、k代入式(2)，并令=6√o/(2a) 墙体两侧作用了周期性谐波热或稳定热源（如：空温 刀=x/6,∈(0，)，整理得到一个复函数。由于对 或采暖时室内一侧)，在求解这种复杂的热作用 应于实部边值的解是上述解的实部，因此，该复 体温度场之前，先求出室外谐波热作用、室内温度 函数的实部为室外谐波热作用室内恒温时单层墙 恒定为0时单层墙的温度场，然后利用叠加法求得 的温度场： T(n,)=Xn)Acos[+p(】 (8) 不同热作用下墙体温府场。 室外谐波热作用、室内温度恒定为0时， 按照 式中 第一类边界条件，单层墙的热传导控制方程为： x)=√E)+F()(幅值衰减系数) ∂rc,=a0Tx, (1a) T(x.t)0=0 1b E(n)=(sinhocososinh(on)cos(on)+cosho. T(x,r)=Acos(@r) (Ie) sinocosh(on)sin()/(sinh+sin) 式中：T(x,)为温度分布函数：6m为墙厚度： ()=(sinhocosocosh(on)sin(on)-cosho a(m2h)为材料的导温系数，a= :wm·K) sinosinh(on)cos(on))/(sinh2+sin2) 为材料的导热系数： 2 室内外有初相位的谐波热作用下 单层墙的温度场 值：w/(rad/h)为谐波热变化的角须率，=2，Z 2.1 7 室外有初相位的谐波热作用室内恒温时 为谐波热变化周期。 单层墙的温度场 当室外有幅值为A)、初相位为的余弦谐 21994-2015Chim Academic Jour al Electronic Publishing www.cnki.ne 194 工 程 力 学 带来误差。 围护结构温度场的分布和变化规律除与保温 隔热层的构造和热工特性有关外，还与室外空气温 度和太阳辐射强度有关。室外空气温度和太阳辐射 强度具有逐日、逐年周期变化的特性，利用傅里叶 级数，可以将这种温度作用简化成谐波热作用和稳 态温度作用叠加[12]。稳态温度作用可以用很简单的 线性分布来计算多层墙的温度场，而非稳态热作用 温度场计算却非常麻烦。在建筑热工设计中，尽管 可以用谐波反应法、反应系数法、Z 传递函数法等 多种方法来研究围护结构的传热过程[13―14]，但这些 方法只根据采暖通风的要求得出了围护结构表面 温度和热流的变化规律，忽视了围护结构温度场的 变化规律。 本文采取变量分离法求解一侧温度恒定为 0、 另一侧作用谐波热作用下单层墙的温度场，并通过 叠加原理得到两侧均作用谐波热时单层墙的温度 场，在不考虑接触面的热阻和热容后建立在谐波热 作用下的多层墙温度场的求解方法。 1 室外谐波热作用室内恒温时 单层墙的温度场 将单层墙看成是匀质无限大平板，单层墙两侧 的热传导问题便简化为一维热传导问题。一般地， 墙体两侧作用了周期性谐波热或稳定热源(如：空调 或采暖时室内一侧)，在求解这种复杂的热作用下墙 体温度场之前，先求出室外谐波热作用、室内温度 恒定为 0 时单层墙的温度场，然后利用叠加法求得 不同热作用下墙体温度场。 室外谐波热作用、室内温度恒定为 0 时，按照 第一类边界条件，单层墙的热传导控制方程为： 2 2 T xt T xt (,) (,) a t x ∂ ∂ = ∂ ∂ (1a) 0 ( , )| 0 T xt x= = (1b) ( , ) | cos( ) T xt A t x=δ = ω (1c) 式中：T xt (,) 为温度分布函数；δ /m 为墙厚度； a /(m2 /h)为材料的导温系数，a c λ ρ = ；λ /(W/m·K) 为材料的导热系数； c /(kJ/kg·K)为材料的比热； ρ /(kg/m3 )为材料的密度；A/(℃)为谐波热波动幅 值；ω/(rad/h)为谐波热变化的角频率， 2π Z ω = ，Z/h 为谐波热变化周期。 采用分离变量法，可求得微分方程式(1a)的通 解为： 1 2 ( , ) ( cosh sinh )ekat T x t C kx C kx = + (2) 式中，C1、C2 为积分常数。 由式(1b)、式(1c)，得： 1 2 C C cosh 0 sinh 0 0 + = (3a) 1 2 ( cosh sinh )e cos( ) kat C kC k A t δδω + = (3b) 由式(3)，得： 2 sinh e cos( ) kat C k At δ ω = (4) 显然，若 k 为实数，式(4)左边不是周期函数， 等号不可能成立，因而 k 不可能取实数。若设 k = + α βi 为一复数，则方程的解为一复变函数。 为此，改变边界条件式(1c)为： i = ( , )| e t T xt A x ω δ = (5) 值得注意的是，实际的边值是式(5)的实部。 式(4)改写为： i 2 sinh e e kat t Ck A ω δ = (6) 式(6)对任意 t 均满足的条件是 ka =ωi ，或 (1 i) 2 k a ω =± + 。另外，当t = 0时： 2 sinh A C kδ = (7) 将系数 C1、C2、k 代入式(2)，并令φδ ω = /(2 ) a 、 η = x/δ ，η ∈(0,1)，整理得到一个复函数。由于对 应于实部边值的解是上述解的实部[13]，因此，该复 函数的实部为室外谐波热作用室内恒温时单层墙 的温度场： Tt A t ( , ) ( ) cos[ ( )] η χ = + ′ ′ η ω ϕ η (8) 式中： 2 2 χ′() () () η ηη = + E F (幅值衰减系数) ( ) ( ) arctan ( ) F E η ϕ η η ′ = (时间延迟) E( ) (sinh cos sinh( )cos( ) cosh η φφ φ = +⋅ η φη φ 2 2 sin cosh( )sin( ))/(sinh sin ) φ φη φη φ φ + F( ) (sinh cos cosh( )sin( ) cosh η φφ φ = −⋅ η φη φ 2 2 sin sinh( )cos( )) / (sinh sin ) φ φη φη φ φ + 2 室内外有初相位的谐波热作用下 单层墙的温度场 2.1 室外有初相位的谐波热作用室内恒温时 单层墙的温度场 当室外有幅值为 (o) A 、初相位为 (o) ψ 的余弦谐