《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 减少→随着n的无限增大，1+！-1无限减少→1+】-1会任意小，只要n充分大 如：要使1+-1k0.1,只要n>10即可： 要使1+号-1k001,只婴n>100即可： 任给无论多么小的正数6，都会存在数列的一项a,从该项之后>们，+}-水s 即ve>03w,当a>N时，+月}-k8 如何找N?(或N存在吗？)解上面的数学式子即得：n>,取N=白+1即可，这样VE>0 当a>w时：}京c 综上所述，数列1+}的通项1+随的无限增大，1+无限接近于1，即是对任意给定 正数6，总存在正整数，当>N时，有：》水，此即小：}以1为板限的精确定义。 记作回+}-1或m→1+分1 n (二)数列极限的定义 定义1设{a}为数列，a为实数，若对任给的正数ε，总存在正整数N,使得当n>N时有 Ia,-aks,则称数列{a}收敛于a,实数a称为数列{a}的极限，并记作lima。=a或 an→a(n→o). (读作：当n趋于无穷大时，a的极限等于a或an趋于a).由于n限于取正整数，所以在数列极 限的记号中把n→+o写成n→o,即1ima,=a或a,→a(n→). 若数列{a}没有极限，则称{a}不收敛，或称{a}为发散数列. 问题如何表述{a}没有极限？ (三)举例说明如何用ε-N定义来验证数列极限 例1证明：m=0p>0). 《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 4 减少 → 随着 n 的无限增大， 1 |1 1| n + − 无限减少 → 1 |1 1| n + − 会任意小，只要 n 充分大. 如：要使 1 |1 1| 0.1 n + −  ，只要 n 10 即可； 要使 1 |1 1| 0.01 n + −  ，只要 n 100 即可； 任给无论多么小的正数  ，都会存在数列的一项 N a ，从该项之后 ( ) n N ， 1 | 1 1| n      + −    . 即     0, N ，当 n N 时， 1 | 1 1| n      + −    . 如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得： 1 n   ，取 1 N [ ] 1  = + 即可.这样    0, 当 n N 时， 1 1 1 | 1 1| n n N      + − =     . 综上所述，数列 1 1 n     +   的通项 1 1 n + 随 n 的无限增大， 1 1 n + 无限接近于 1，即是对任意给定 正数  ，总存在正整数Ｎ，当 n N 时，有 1 | 1 1| n      + −    .此即 1 1 n     +   以 1 为极限的精确定义， 记作 1 lim 1 1 n→ n     + =   或 1 n ,1 1 n →  + → . (二) 数列极限的定义 定义 1 设 an 为数列,a 为实数,若对任给的正数  ,总存在正整数 N,使得当 n N 时有 | | n a a −   , 则称数列 an 收敛于 a,实 数 a 称为 数列 an 的极限,并记 作 lim n n a a → = 或 ( ) n a a n → →  . (读作:当 n 趋于无穷大时, n a 的极限等于 a 或 n a 趋于 a).由于 n 限于取正整数,所以在数列极 限的记号中把 n → + 写成 n →,即 lim n n a a → = 或 ( ) n a a n → →  . 若数列 an 没有极限，则称 an 不收敛，或称 an 为发散数列. 问题 如何表述 an 没有极限？ (三) 举例说明如何用  −N 定义来验证数列极限 例 1 证明: 1 lim 0( 0) p n p → n = 