《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 三、什么是数列极限 (一)引言 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“ 尺之棰，日取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）： 第1天截下 第2天截下片京 第3天截下付行-宁 第天截下分之宁 得到一个数列：过“京 不难看出，数列份的通项宁随着的无限指大而无限地楼近于零 一般地说，对于数列{a},若当n无限增大时，a,能无限地接近某一个常数a,则称此数 列为收敛数列，常数ā称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数 列. 据武可以说。数列侣是收敛数列，0是它份极限， 数列{n2},{1+(-1)}都是发散的数列. 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性” 的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析. 以1+为例，可观察出该数列具以下特性： n 随着n的无限增大，a=1+号无限地接近于1→随着n的无限增大，1+与1的距离无限 3《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 3 二、什么是数列极限 (一) 引言 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一 尺之棰，日取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）: 第 1 天截下 1 2 ， 第 2 天截下 2 1 1 1 2 2 2  = ， 第 3 天截下 2 3 1 1 1 2 2 2  = ， 第 n 天截下 1 1 1 1 2 2 2 n n −  = ， 得到一个数列： 2 3 1 1 1 1 , , , , , 2 2 2 2n 不难看出，数列 1 2 n       的通项 1 2 n 随着 n 的无限增大而无限地接近于零. 一般地说，对于数列 an ，若当 n 无限增大时， n a 能无限地接近某一个常数 a，则称此数 列为收敛数列，常数 a 称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数 列. 据此可以说，数列 1 2 n       是收敛数列，0 是它的极限. 数列     2 1 , 1 ( 1)n n + + − 都是发散的数列. 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性” 的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析. 以 1 1 n     +   为例，可观察出该数列具以下特性： 随着 n 的无限增大， 1 1 n a n = + 无限地接近于 1 → 随着 n 的无限增大， 1 1 n + 与 1 的距离无限