推论3设X与Y为两个独立的正态总体,X~N(4,2),(X1X2…,Xn)为总 体X的样本,Y~N(122),(1,H2…,yn)为总体Y的样本,则这两个样本均值X与 Y的差X一Y的分布为 X-Y X-Y ~N(0,1) G/m1+a2/n2 其中 ∑x ∑ 定理5.8设总体X~N(A2),(x1,X2,…Xn)是来自总体X的一个样本,则有 (1)样本均值X与样本方差S2相互独立; n (X-X)2~x2(n-1) (541) 该定理的证明较复杂,故从略。 推论1设总体X~N(,a2),(X1,x2…,Xn)是来自总体X的一个样本,则有 S/n S,//n-1 证明由定理57的推论2和定理58知 2~x2(n-1) g/n 且x-=(-1s2 相互独立,再由t分布的定义得 /n (-1s:/2(n-1)√;/7(m X推论 3 设 X 与Y 为两个独立的正态总体， ， 为总 体 ~ ( , ) 2 X N µ1 σ 1 ( , , , ) 1 X1 X 2 " X n X 的样本，Y ~ (µ 2 , )， 为总体 的样本，则这两个样本均值 2 N σ 2 ( , , , ) 2 Y1 Y2 " Yn Y X 与 Y 的差 X − Y 的分布为 ~ ( , ) 2 2 2 1 2 1 1 2 n n X Y N σ σ − µ − µ + 或 ~ (0,1) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 N n n X Y σ σ µ µ + − − − (5.40) 其中 ∑= = 1 1 1 1 n i Xi n X ， ∑= = 2 2 1 1 n i Yi n Y 定理 5.8 设总体 ~ ( , ) ， 是来自总体 2 X N µ σ ( , , , ) X1 X 2 " X n X 的一个样本，则有 (1) 样本均值 X 与样本方差 Sn 2 相互独立； (2) ( ) ~ ( 1) ( 1) 1 2 2 1 2 2 2* 2 2 = − − − = ∑= X X n nS n S n i i n n χ σ σ σ (5.41) 该定理的证明较复杂，故从略。 推论 1 设总体 ~ ( , ) ， 是来自总体 2 X N µ σ ( , , , ) X1 X 2 " X n X 的一个样本，则有 ~ ( 1) 1 * − − − = − t n S n X S n X n n µ µ (5.42) 证明 由定理 5.7 的推论 2 和定理 5.8 知 ~ N(0,1) n X σ − µ ， ~ ( 1) ( 1) 2 2 2 2 2* = − − n n Sn nSn χ σ σ 且 n X σ − µ 与 2 2 2 2* ( 1) σ σ n Sn nSn = − 相互独立，再由t 分布的定义得 ~ ( 1) [ ( 1)] ( 1) [ ( 1)] 2 2 2 2* − − − = − − − t n nS n n X n S n n X n n σ σ µ σ σ µ 即 ~ ( 1) 1 * − − − = − t n S n X S n X n n µ µ 2