·848 北京科技大学学报 第34卷 状态估计器的设计方法.所得结果完全由线性矩阵 Hs1,S2∈R (6) 不等式(LM)给出.数值算例可以表明本文的方法 其中，y和y为已知常数. 比文献0]具有优越性. 全维状态估计器具有如下形式： A 本文中，A<0表示A为负定矩阵：￥B表 x(t)=-Ar(）+Bog(E(t）)+Bg(c(t- A C] 示对称矩阵 ,Am(A)表示对称矩阵A的最 r0)+ang6i6)+ CT B K(y(t)-C(t)-Df(t,(t))). (7) 大特征值 其中，x(t)神经网络状态估计，K∈R"xm为设计的估 1问题描述 计器增益矩阵 定义误差状态为： 考虑如下时滞不确定离散时间系统 e(t）=x(t)-r(t). (8) i(t)=-Ax(t)+Bog(x(t))+B:g(x(t- 从而，由式(1)、(5)和(7)可得误差状态系统为 r0)）+B:a&x()ds+J (1) e(t)=-(A+KC)e(t)+B。b(t)+B1中(t- 式中：x(t)=x,(t),x2(t),,xn(0]T∈R”为含 @）+Bu)t-Dw0. (9) 有n个神经元的状态向量；对角矩阵A=diag{a1, 其中，中(t)=g(x(t))-g(c(t),业(t)=f(t, a2,…,an}为状态反馈系数矩阵，其中a>0:矩阵 x(t))-f(t,c(t)). B。、B,和B2分别代表连接权矩阵、离散时滞连接权 引理1n)(Jensen积分不等式)对于任意正 矩阵和分布时滞连接权矩阵：J=(J1,J2,…,J)T是 定矩阵M∈R"“,标量0≤I1≤2和向量函数：1， 外部输入8(x(t))=g1(x,(t),g2(x2(t)),…, r2]→R”,则有下列不等式成立： gn(x.())]T为激活函数：r(t)和σ(t)分别为离散 时变时滞和分布时变时滞，并满足 ((ods)'M(ro)ds)s 0≤Tm≤r(t)≤TM (2) 0≤c(t)≤w (3) -小rM因 其中TmTM和M均为常数 引理2对于0≤B≤1，任意的常数矩阵X1、X2 假设1对任意的i∈{1,2，…，n},激活函数 和△，则不等式 8,(·)满足如下条件： r4+X<0 E≤8s）-8≤I,s,R(④) 4+X2<0 S1-S2 等价于 其中，I和为己知常数矩阵 A+BX,+(1-B)X2<0. 注1这里和1可取为正数、负数或者零 2 估计器设计 显然，g:（·)是全局Lipschitz连续的.激活函数可以 是非单调的，比常见的双曲函数和一般Lipschitz条 方便起见，本文定义 件更具有一般性.同时，激活函数可以是非可微和 Σ1=diag{ll,l2l5,…,lln}, 无界的. 本文的目的是根据已知的网络输出设计一个有 5} Σ2=diag2’ 效的估计器来观察神经元的状态.因此，假设测量 E3=diag(viv,vv,vv, 输出为 y(t)=Cx(t)+Df(t,x(t)). (5) 玉d,哈2 其中，y(k)∈Rm是测量输出，C∈Rxm,D∈Rmxm为 定理1如果存在矩阵R,正定矩阵P>0,Q1> 适维的常数矩阵.∫：R×R”→R"是加在网络输出端 0,Q2>0,Q3>0,>0,T>0,正定对角矩阵U> 的与神经网络有关的非线性扰动，并满足(=1,2， 0,V>0,W>0,使得如下线性矩阵不等式成立： …,m) ΦTmH1TH1 ≤ss）-fxs) T-2P0 <0,i=1,2. (10) x(s1)-x(s2) ≤y, S-2P」北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 状态估计器的设计方法． 所得结果完全由线性矩阵 不等式( LMI) 给出． 数值算例可以表明本文的方法 比文献［10］具有优越性． 本文中，A ＜ 0 表示 A 为负定矩阵; A C *[ ] B 表 示对称矩阵 A C C[ ] T B ，λmax ( A) 表示对称矩阵 A 的最 大特征值． 1 问题描述 考虑如下时滞不确定离散时间系统 x ·( t) = － Ax( t) + B0 g( x( t) ) + B1 g( x( t － τ( t) ) ) + B2 ∫ t t－σ( t) g( x( s) ) ds + J． ( 1) 式中: x ( t) = ［x1 ( t) ，x2 ( t) ，…，xn ( t) ］T ∈Rn 为含 有 n 个神经元的状态向量; 对角矩阵 A = diag{ a1， a2，…，an } 为状态反馈系数矩阵，其中 ai ＞ 0; 矩阵 B0、B1 和 B2 分别代表连接权矩阵、离散时滞连接权 矩阵和分布时滞连接权矩阵; J = ( J1，J2，…，Jn ) T 是 外部输入; g( x( t) ) =［g1 ( x1 ( t) ) ，g2 ( x2 ( t) ) ，…， gn ( xn ( t) ) ］T 为激活函数; τ( t) 和 σ( t) 分别为离散 时变时滞和分布时变时滞，并满足 0≤τm≤τ( t) ≤τM， ( 2) 0≤σ( t) ≤σM ． ( 3) 其中 τm、τM 和 σM 均为常数． 假设 1 对任意的 i∈{ 1，2，…，n} ，激活函数 gi (·) 满足如下条件: l － i ≤gi ( s1 ) － gi ( s2 ) s1 － s2 ≤l + i ，s1，s2∈R． ( 4) 其中，l － i 和 l + i 为已知常数矩阵． 注 1 这里 l － i 和 l + i 可取为正数、负数或者零． 显然，gi (·) 是全局 Lipschitz 连续的． 激活函数可以 是非单调的，比常见的双曲函数和一般 Lipschitz 条 件更具有一般性． 同时，激活函数可以是非可微和 无界的． 本文的目的是根据已知的网络输出设计一个有 效的估计器来观察神经元的状态． 因此，假设测量 输出为 y( t) = Cx( t) + Df( t，x( t) ) ． ( 5) 其中，y( k) ∈Rm 是测量输出，C∈Rm × n ，D∈Rm × m为 适维的常数矩阵． f: R × Rn →Rm 是加在网络输出端 的与神经网络有关的非线性扰动，并满足( j = 1，2， …，m) ν － j ≤fj ( s1，x( s1 ) ) － fj ( s2，x( s2 ) ) x( s1 ) － x( s2 ) ≤ν + j ， s1，s2∈R． ( 6) 其中，ν － j 和 ν + j 为已知常数． 全维状态估计器具有如下形式: x^ · ( t) = － Ax^( t) + B0 g( x^( t) ) + B1 g( x^( t － τ( t) ) ) + B2 ∫ t t－σ( t) g( x^( s) ) ds + J + K( y( t) － Cx^( t) － Df( t，x^( t) ) ) ． ( 7) 其中，x^( t) 神经网络状态估计，K∈Rn × m为设计的估 计器增益矩阵． 定义误差状态为: e( t) = x( t) － x^( t) ． ( 8) 从而，由式( 1) 、( 5) 和( 7) 可得误差状态系统为 e ·( t) = － ( A + KC) e( t) + B0( t) + B1( t － τ( t) ) + B2 ∫ t t－σ( t) ( s) ds － KDψ( t) ． ( 9) 其中，( t) = g ( x ( t) ) － g ( x^ ( t) ) ，ψ( t) = f( t， x( t) ) － f( t，x^( t) ) ． 引理 1 ［13］( Jensen 积分不等式) 对于任意正 定矩阵 M∈Rn × n ，标量 0≤r1≤r2 和向量函数 v: ［r1， r2］→Rn ，则有下列不等式成立 ( : ∫ r2 r1 v( s) d ) s T M ( ∫ r2 r1 v( s) d ) s ≤ ( r2 － r1 ) ∫ r2 r1 vT ( s) Mv( s) ds． 引理 2 对于 0≤β≤1，任意的常数矩阵 X1、X2 和 Δ，则不等式 Δ + X1 ＜ 0 {Δ + X2 ＜ 0 等价于 Δ + βX1 + ( 1 － β) X2 ＜ 0． 2 估计器设计 方便起见，本文定义 Σ1 = diag{ l + 1 l － 1 ，l + 2 l － 2 ，…，l + n l － n } ， Σ2 = diag { l + 1 + l － 1 2 ， l + 2 + l － 2 2 ，…， l + n + l － n } 2 ， Σ3 = diag{ ν + 1 ν － 1 ，ν + 2 ν － 2 ，…，ν + n ν － n } ， Σ4 = diag { ν + 1 + ν － 1 2 ， ν + 2 + ν － 2 2 ，…， ν + n + ν － n } 2 ． 定理1 如果存在矩阵 R，正定矩阵 P ＞ 0，Q1 ＞ 0，Q2 ＞ 0，Q3 ＞ 0，S ＞ 0，T ＞ 0，正定对角矩阵 U ＞ 0，V ＞ 0，W ＞ 0，使得如下线性矩阵不等式成立: Φi τmH1 τH1 * T － 2P 0 ＊ ＊ S － 2        P ＜ 0，i = 1，2． ( 10) ·848·