2014-06-18 三、平稳随机信号 §22随机信号的平均表征 ·随机信号可以分为:平稳 stationary)随机信号和非平稳 随机信号的集平均表征量 ·平稳随机信号:随机信号的统计特性与开始进行统计分析 value):数学期望( mathematical expectation)、 的时刻无关 一阶原点矩( moment about origin) 对于n维联合分布函数和概率密度函数,有 随机信号X(0的所有样本函数在同一时刻的取值xYn是 随机变量,其统计平均值称为集平均,简称均 Fn(x1,x2,…,xn;1,t2;…,Ln) 若x的概率密度函数为p(xn),则随机信号的均值为: Fn(x,x2,…,xn;1+r,12+r,…n+r) ELX(l=xp(s,I)dr=a(0) Pn(x1,x2…,xn,1,12…,n) 若随机信号是平稳的,→x的概率密度函数p(x,n与时间无 =Pn(x1,x2…,xn1+r,12+r,…,tn+r) 关,记为p(x),则随机信号的均值为常数 ELX(O= xp(x)dr=a 着随机信号的幅度是高散的,取值为xn的概率为Pxn1),则 它的均值为 3、方差( vanance):二阶中心矩 EX()=∑xP(x,1)=a() ·方差说明随机信号各可能值对箕平均值的偏离程度,是随 机信号在均值上下起伏程度的一种度量 对平稳随机信号,类似有: 方差定义为可能值偏离其平均值的平方的数竽期望 Ex()=∑xP(x)=a DX)=印x(0)-a(o=1x-a0fp(x,)d 2、均方值( mean square value):二阶原点矩 方差的平方根称为随机信号的标准差( standard deviation), 也称均方差或一阶中心矩 随机信号X(0的所有样本函数在同一时刻的取值的平方 的统计平均位称为均方值 o()=√DX( 对平稳随机信号,有 印Xx()]=|xFPp(x,a DLX(=ELX(-afl=Clx-al' p(r)dr=o2 21 ·物理意义 4、自相关函数( autocorrelation function) 若X(代变1欧爆电阻上的噪产电压,则 自相关函数(二阶混合原点矩):表征一个随机信号在任意 数学期望的平方等效于某一时刻消耗在电阻上的直流功率 两个时刻r1、l2的状态间的相关程度 x214)为相应的二维概率密度函数,则X的自相 均方值表示消耗在电阻上的瞬时功率统计平均值 ◆方差代表消耗在电阻上的瞬时交漉功率统计平均值 R2(1,l2)=Ex(1)X(U2 (方差)为概率分布的高散程度提供一种度量 [上P2(x,:1M山 过程偏高均值的高散程度 为更全面掌握随机信号的统计特性,二阶以上 对平稳随机信号,有 其它方面,如分布函数的对称性(三阶中 线的快慢等来描述随机过程的数字特征 R(14)=R(1-)=R()=厂⊥x2(x,不 其中rtr12 平稳随机信号的自相关函数只与相对 时间间隔r有关,与时间起点无关 42014-06-18 4  随机信号可以分为：平稳(stationary)随机信号和非平稳 (non-stationary)随机信号  平稳随机信号：随机信号的统计特性与开始进行统计分析 的时刻无关  对于n维联合分布函数和概率密度函数，有： 三、平稳随机信号 52 19 ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2               n n n n n n n n n n n n p x x x t t t p x x x t t t F x x x t t t F x x x t t t         1、均值(mean value)：数学期望(mathematical expectation)、 一阶原点矩(moment about origin) §2.2 随机信号的平均表征 一、随机信号的集平均表征量  随机信号X(t)的所有样本函数, 在同一时刻t的取值x=X(t)是 一随机变量，其统计平均值称为集平均，简称均值 若 的概率密度 数为 则 机信 的均值为 52 20 E[X (t)]  xp(x,t)dx  a(t)     若x的概率密度函数为p(x,t)，则随机信号的均值为：  若随机信号是平稳的，x的概率密度函数p(x,t)与时间无 关，记为p(x)，则随机信号的均值为常数： E X t  xp x dx  a    [ ( )] ( )  若随机信号的幅度是离散的，取值为xn的概率为P(xn,t)，则 它的均值为： E X t x P x a n [ ( )]   n ( n )   对平稳随机信号，类似有： E[X (t)] x P(x ,t) a(t) n   n n  52 21    E[| X (t) | ]  | x | p(x,t)dx 2 2 2、均方值(mean square value)：二阶原点矩  随机信号X(t)的所有样本函数, 在同一时刻t的取值x的平方 的统计平均值称为均方值 3、方差(variance)：二阶中心矩  方差说明随机信号各可能值对其平均值的偏离程度, 是随 机信号在均值上下起伏程度的一种度量  方差定义为可能值偏离其平均值的平方的数学期望：    D[X (t)]  E[| X (t)  a(t)| ]  | x  a(t)| p(x,t)dx 2 2 方差的平方根称为随机信号的标准差( t d d d i ti ) 52 22  (t)  D[X (t)]  方差的平方根称为随机信号的标准差(standard deviation)， 也称均方差或一阶中心矩  对平稳随机信号，有： 2 2 2 [ ( )]  [| ( )  | ]  |  | ( )     D X t E X t a x a p x dx 若X(t)代表1欧姆电阻上的噪声电压，则：  数学期望的平方等效于某一时刻消耗在电阻上的直流功率  均方值表示消耗在电阻上的瞬时功率统计平均值  方差代表消耗在电阻上的瞬时交流功率统计平均值  物理意义： 阶中心矩(方差)为概率分布的离散程度提供 种度量 52 23  二阶中心矩(方差)为概率分布的离散程度提供一种度量， 用来描述随机过程偏离均值的离散程度  可以推想：为更全面掌握随机信号的统计特性，二阶以上 的高阶中心矩则从其它方面，如分布函数的对称性(三阶中 心矩)、分布曲线的快慢等来描述随机过程的数字特征 4、自相关函数(autocorrelation function) * 2 * 1 2 1 ( ; ) ( , ) [ ( ) ( )] x x p x x t t dx dx R t t E X t X t x          自相关函数(二阶混合原点矩) ：表征一个随机信号在任意 两个时刻t1、t2的状态间的相关程度  设p2(x1,x2;t1,t2)为相应的二维概率密度函数，则X(t)的自相 关函数为： 52 24 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x x p (x , x ;t ,t )dx dx       对平稳随机信号，有： 2 1 2 1 2 * 1 2 1 2 R (t ,t ) R (t,t ) R ( ) x x p (x , x ; )dx dx x x x             其中 =t1-t2 平稳随机信号的自相关函数只与相对 时间间隔 有关，与时间起点无关