2014-06-18 当r=0时,随机信号的自相关值即其均方值 6、平稳随机倍号与广义平稳随机信号 R,(O)=xp(kr=[xf p(rkx=ELLX(orl (1)平稳随机信号( Stationary random signal) 随机信号X,给定时刻1,随机变量X1)的概率密度函 表示随机信号的平均功率 数为x1):给定时刻、2,随机变量Y1和X(2)的概率密度 函数为px1x2:12 Ln,随机变量 ·互相关函数:表征两个随机信号分别在两个时刻1、2的 若任意移动一个时间△后,各概率密度函数仍保持不变 状态间的相关程度 为两个随机信号的二维联合概率密度函数, p(x1,h1)=p(x1,1+△n 则X(A和 p(x1,x2;t1,2)=P(x1,x2+M,2+△) R(4.)=EX(G()=x2(xy4hh p(x1,…,xn1,…,n)=p(x1…,xn;+△t,…,n+A)(3) 对平稳随机信号,互相关函数只是r的函数: 满足(1)的 满足(2)的 R, (r)=ELY(Y(-x)]=lr'P2(r,),rkdrdcy 满足(3)的 机信号 概率密度函数不随时间平移而变化的一类随机信号,称 对于平稳随机信号,且有 I(OF=DIX(OFELX(OI=0+laF 不满足上式的称为非平稳随机倍号 机信号也称为严格平稳随机信号或狭义平稳随 证:xo)=1x0-a[1x-apxk[(x-0x-0)xkh 时于平稳随机信号,有 wx)+a上 ELX(]= xp( =印X()]-aa-aa+|a11=印X)P}|a ElX(F]=DIX(OlaF=a+laF F】=1xFp(xlh ·平稳随机信号相关函数的主要特征 DLX(]=ELLX(-al']=[lx-af' p(rhdrsd' 1)r=0时的自相关函数具有最大值:R(O)≥R(r R()=x()x(-=厂广x(,x血 R,(r)=ELX(Y(-r)]=Cr'ps(x,,rydudy 对实随机信号,其相关函数为实偶函数 R2(-r)=R2(r),Rx(-r)=R(r) 3)自相关函数的极限值: 例1试求瑞利型概率密度函数的均值、均方和方差 lim r,(r)EXO=al 为实信号,且x)={a R,(O)=El X(OR 随机信号Ⅺ(n的均值为0时,有 w-2) =0+e (2)广义平稳随机信号 广义平稳随机信号:坳值、均方、方差与时间无关,相 o 狭义平稳随机信号一定是广义随机平稳信号 广义平稳随机信号不一定是狭义随机平稳信号 52014-06-18 5  当 =0时，随机信号的自相关值即其均方值： (0) ( ) | | ( ) [| ( )| ] * 2 2 R xx p x dx x p x dx E X t x          表示随机信号的平均功率 5、互相关函数(cross-correlation function)  互相关函数 ：表征两个随机信号分别在两个时刻t1、t2的 状态间的相关程度 52 25 R t t E X t Y t xy p x y t t dxdy xy       ( , )  [ ( ) ( )]  ( , , ; ) 2 1 2 * 2 * 1 2 1 R E X t Y t xy p x y dxdy xy       ( )  [ ( ) (  )]  ( , , ) 2 * *    状态间的相关程度  设p2(x, y;t1,t2)为两个随机信号的二维联合概率密度函数， 则X(t)和Y(t)的互相关函数为：  对平稳随机信号，互相关函数只是 的函数： (1) 平稳随机信号(Stationary random signal)  对一随机信号X(t)，给定时刻t1，随机变量X(t1)的概率密度函 数为p(x1;t1)；给定时刻t1、t2，随机变量X(t1)和X(t2)的概率密度 函数为p(x1,x2;t1,t2)；…；给定时刻t1、t2、…、tn，随机变量 X(t1)、X(t2)、…、X(tn)的概率密度函数为p(x1,x2,…,xn;t1,t2,…, tn)  若任意移动一个时间t后，各概率密度函数仍保持不变： 6、平稳随机信号与广义平稳随机信号 52 26 满足(1)的，称为一阶平稳 满足(2)的，称为二阶平稳 满足(3)的，称为n阶平稳随机信号 ( , ) ( , ) 1 1 1 1 p x t  p x t  t ( , ; , ) ( , ; , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 p x x t t  p x x t  t t  t (1) (2) ( , , ; , , ) ( , , ; , , ) (3) 1 1 1 1 p x x t t p x x t t t t  n  n   n    n    概率密度函数不随时间平移而变化的一类随机信号，称 为平稳随机信号  不满足上式的称为非平稳随机信号  n阶平稳随机信号也称为严格平稳随机信号或狭义平稳随 机信号  对于平稳随机信号，有： E X t  xp x dx  a    [ ( )] ( ) 52 27    E[| X (t) | ]  | x | p(x)dx 2 2 2 2 2 [ ( )]  [| ( )  | ]  |  | ( )      D X t E X t a x a p x dx 2 1 2 1 2 * 1 2 * R ( ) E[X (t)X (t )] x x p (x , x ; )dx dx x            R E X t Y t xy p x y dxdy xy       ( )  [ ( ) (  )]  ( , , ) 2 * *     对于平稳随机信号，且有： 2 2 2 2 2 * * 2 2 2 * * * * [| ( )| ] [ ( )] | | | | [| ( ) | ] | | 1 [| ( )| ] | | ( ) ( ) ( ) ( ) E X t D X t a a E X t a a a a a E X t a xx p x dx a x p x dx a xp x dx aa p x dx                                证：D X t E X t a x a p x dx x a x a p x dx       [ ( )]  [| ( )  | ]  |  | ( )  (  )(  ) ( ) 2 2 * 2 2 2 2 E[| X (t)| ]  D[X (t)] | E[X (t)]|    | a | 52 28  E[| X (t)| ]  D[X (t)] | a |   | a | (0) ( ) Rx  Rx  平稳随机信号相关函数的主要特征 1)  时的自相关函数具有最大值： 2) 共轭对称性： ( ) ( ), ( ) ( ) * *     Rx   Rx Ryx   Rxy 对实随机信号，其相关函数为实偶函数： (  ) ( ), (  ) ( ) Rx   Rx Ryx   Rxy (0) [| ( ) | ] lim ( ) | [ ( )]| | | 2 2 2 | | R E X t R E X t a x x       3) 自相关函数的极限值： lim ( ) 0 | | Rx   随机信号X(t)的均值为0时，有： 52 29 | | x (2) 广义平稳随机信号  广义平稳随机信号：均值、均方、方差与时间无关，相 关函数只与时间间隔 有关  狭义平稳随机信号一定是广义随机平稳信号  广义平稳随机信号不一定是狭义随机平稳信号 例1 试求瑞利型概率密度函数的均值、均方和方差 解：                  0 0 0 2 exp ( ) 2 2 2 x x x x  x为实信号，且 p x      2 exp 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) exp 0 2 2 2 0 2 2 2 2                                             dx x x dx x x x E x xp x dx 52 30             2 2 1 2 2 exp 2 1 2 1 2 2 exp 2 1 2 2 0 exp 2 ( 1) exp 2 ( )exp 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2                                                                           dx x dx x dx x dx x x x