2014-06-18 例2试求随机相位正弦波x(=Asin(aM 值 方差和自相关函数,其中4和a c(2-+ 0~2π间均匀分布的随机变量 解 在0-~2m间均匀分布→p(O)= 0≤6<2丌 (-2x)e Ex(o]=[ Asin(0/+0)P(0)de=l Asin(o!+)de + d(-2d)1-2a A(sin@ot cos 8+ cos@ 0)-de D(x)=E(x2)-[E(x)2=2a2 xl2=042 =0+0=0 D(x(0]=LIAsin(@J+0)-of p(0)de=[ dsin (e/ +0)-de R(12)=Asin(a1+sinl(1-r)+p(O)dO Al sin(o, +0)sinoo( -r)+Ode =--20202020 23icos0r-cosloo(21, -1)+20)de (21-r)cos 20-sin @(21-r)sin 2ad8 R(12)=Ex(4)x(2)=xx,x:1,2 0+0=-A[=R, (r) x和x2郁是随机变量的函数,则有: 均值和方差是常数,自相关函数只与r有关→广义平稳 元随机波形的均值、方差和自相关函数 x=0)=P(x=A)= 1次,但每次的具体取值是随机且互相独 E[xo)=0.P(x=0)+4P(x=A=4.1=4 立的,取0、A的概率各为1/2 D[x() 「1 A21A21A2 R (r)=ELx, x,I 只有四种可能性: (1)x=A,xx=A(2).x=A,x-=0 (1).x,=0,x-=A,(2).x1=0,x2014-06-18 6 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 3 2 2 2 ( 2 ) exp 2 ( ) exp 2 exp 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) exp                                                                                 dx x x x x dx x x x dx x x E x x p x dx 52 31 2 2 2 2 2 2 0.43 2 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 2                        D x  E x  E x   2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 exp 2 2 2 exp 2 0 2 exp                                                              x x d x dx x x 例2 试求随机相位正弦波x(t)=Asin(0t+)的均值、 方差和自相关函数，其中A和0为常数，为 0～2间均匀分布的随机变量 解：         0 else 0 2 2 1 0 2 ( )   在 ～ 间均匀分布 p   1 [ ( )] i ( ) ( ) i ( ) 2     E t A t   d A t  d 52 32 0 0 0 cos sin 2 1 sin cos 2 1 2 1 (sin cos cos sin ) 2 [ ( )] sin( ) ( ) sin( ) 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0                                          A t d A t d A t t d E x t A t p d A t d sin 2 sin 2 4 cos 2 cos 2 2 4 [cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 ] 2 4 cos(2 2 ) 2 4 4 1 2 1 cos(2 2 ) 2 1 [ ( )] | sin( ) 0 | ( ) sin ( ) 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 t d A t d A A t t d A A t d A d A d t A D x t A t p d A t d                                                                   52 33 sin( ), sin( ) sin[ ( ) ] ( , ) [ ( ) ( )] ( , ; , ) 1 0 1 2 0 2 0 1 1 2 1 2 1 2 * 2 1 2 * 1 2 1              x A t x A t A t R t t E x t x t x x p x x t t dx dx x  2 0 0 2 2 2 A A     x1和x2都是随机变量的函数，则有： cos 1 1 {cos cos[ (2 ) 2 ]} 2 1 2 1 2 1 sin( )sin[ ( ) ] ( , ) sin( ) sin[ ( ) ] ( ) 2 0 2 0 1 2 0 0 2 0 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 0 1                            x A d A t d A t t d R t t A t A t p d                    52 34 cos ( ) 2 1 cos 0 0 2 1 cos (2 ) cos 2 sin (2 )sin 2 2 1 2 1 2 2 0 2 0 2 2 0 0 1 0 1 2 0 0                A A Rx A t t d            均值和方差是常数，自相关函数只与 有关  广义平稳 例3 试求二元随机波形的均值、方差和自相关函数， 其中信号取值是二值的(0或A)，每隔时间间隔T 取值变1次，但每次的具体取值是随机且互相独 立的，取0、A的概率各为1/2。 t x(1) T 2T 3T 4T 5T 6T A 52 35 T 2T 3T 4T 5T 6T t x(2) T 2T 3T 4T 5T 6T A t x(N) T 2T 3T 4T 5T 6T A  解： 2 1  P(x  0)  P(x  A)  2 2 1 [ ( )] 0 ( 0) ( ) A E x t   P x   A P x  A  A  1 1 ( ) 2 ( 0) 2 0 2 [ ( )] ( ) 2 2 2 2 2 2 A A A P x A A P x A A A D x t E x t                                    52 36 4 2 4 2 4  ( ) [ ] *   x  t t R E x x 只有四种可能性： (1). 0, ; (2). 0, 0 (1). , ; (2). , 0;                 t t t t t t t t x x A x x x A x A x A x