o,+f+0型=0 +- Ox y (7.21) a(o,+fy) =0 Ox y 令O+x=O,O,+∫y=σ，t=T,因为体力是常量，所以仍然有 7(o+σ，)=0。同样引入Aiy应力函数U',满足双调和方程，应力分量可表示为 a'U' 2'=U,o=ay,5=- a2, Oxoy (fx 但对这类问题应注意边界条件的表述，T'=(T +o f.y i+(nLx.). 其中n=(n,2)为边界的法向，f为边界上己知面力。 (2)体力有势，即∫= d 一，0为势函数。 令o:=0+,O,=0,+p,t,=t,’则o,O),t满足无体力的平衡方程，可以用 OU Aiy应力函数表示应力分量，σ：= U aU 2,s r2,、 Oxoy 但这时应力协调方程为：7(o+σ)=(1-y)7p,应力函数U满足下列方程 V27U=(1-y)70 (7.22) 如果p是调和函数则有727U=0。 常见的体力有重力和惯性力，有体力的问题，解题时应注意边界条件的表达。 >平面问题的解法 逆解法：猜到Aiy应力函数U的形式或给定U的形式看能解什么问题。 半逆解法：根据所研究问题的边界形状和受力状况假定应力函数U的形式，如x(y),(x) 等，求出U后，如果发现不满足边界条件或推出矛盾，须另做假设。 推理型解法：不必事先做假设，例如后面将要学习的复变函数解法，及近年来钟万勰院士大 力倡导的Hamilton体系、辛体系解法。 7.3平面问题的直角坐标解法 7.3.1多项式解 以下假设无体力。 (1)应力函数取一次式U=a+bx+Cy,显然是双调和函数，算出应力分量都是零。7 ( ) 0 ( ) 0 x x xy xy y y f x x y f y x y σ τ τ σ ⎧∂ + ∂ + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂+ ⎪ + = ⎪ ⎩ ∂ ∂ (7.21) 令 , , x x x y y y xy xy σ += += = fx fy σσ στ τ ′ ′′ ，因为体力是常量，所以仍然有 2 ( )0 σ σ x y ∇ += ′ ′ 。同样引入 Airy 应力函数U′ ，满足双调和方程，应力分量可表示为 22 2 2 2 , , x y xy UU U y x xy σστ ∂∂ ∂ ′′ ′ ′ ′′ = = =− ∂ ∂ ∂∂ 。 但对这类问题应注意边界条件的表述， 1 2 0 ( ) ( , ) 0 x x y y f x nfx nf y f y ⎛ ⎞ ′ = + =+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n n i i TT t ， 其中 1 2 n = (, ) n n 为边界的法向， t 为边界上已知面力。 (2) 体力有势，即 , x y f f x y ∂ ∂ ϕ ϕ = = ∂ ∂ ，ϕ 为势函数。 令 , , σ x σ ϕσ σ ϕτ τ x y y xy xy ′′′ =+ =+ = ，则 , , σ x σ τ y xy ′ ′ ′ 满足无体力的平衡方程，可以用 Airy 应力函数表示应力分量， 22 2 2 2 , , x y xy UU U y x xy σστ ∂ ∂ ∂ ′ ′′ = = =− ∂ ∂ ∂∂ 。 但这时应力协调方程为： 2 2 1 ( ) (1 ) ∇ + =− ∇ σ x y ′ ′ σ νϕ ，应力函数U 满足下列方程 22 2 1 ∇ ∇ =− ∇ U (1 ) ν ϕ (7.22) 如果ϕ 是调和函数则有 2 2 ∇∇ = U 0。 常见的体力有重力和惯性力，有体力的问题，解题时应注意边界条件的表达。 ¾ 平面问题的解法 逆解法：猜到 Airy 应力函数U 的形式或给定U 的形式看能解什么问题。 半逆解法：根据所研究问题的边界形状和受力状况假定应力函数U 的形式，如 xf y yf x ( ), ( ) 等，求出U 后，如果发现不满足边界条件或推出矛盾，须另做假设。 推理型解法：不必事先做假设，例如后面将要学习的复变函数解法，及近年来钟万勰院士大 力倡导的 Hamilton 体系、辛体系解法。 7.3 平面问题的直角坐标解法 7.3.1 多项式解 以下假设无体力。 (1) 应力函数取一次式U a bx cy =+ + ，显然是双调和函数，算出应力分量都是零