I无体力情形 00x+ ty二0 ax dy (7.15) 0t型+ 0y二0 Ox y 应力协调方程：7(o,+0,)=0。 如果能找到一个函数A,使得0，= 0A ,则平衡方程第一式可自动满足，A可 Cx 以按下面的步骤来求 y) (7.16) (x0）(0%） an (0） 同理，存在函数B,使得O,=- -,Tx ,平衡方程第二式自动满足，并且有 O ov 8A OB=0 (7.17 ax dy 8 aU aUaU aU 再引进函数U,使A= ,则0x= y 0x2w=- Oxoy 将应力的表达式代入应力协调方程，有 727U=0 (7.18) 即 aU 分+2_⊙0，+Y=0 (7.19) 平面问题就归结为寻找满足边界条件的双调和函数U。 Ⅱ有体力情形 ()常体力，∫，∫，都是常量 平衡方程 0o+g+j=0 Ox dy 0ts0c+f=0 Ox ay (7.20) 可改写为 66 I 无体力情形 0 0 x xy xy y x y x y σ τ τ σ ⎧∂ ∂ + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + = ⎪ ⎩ ∂ ∂ (7.15) 应力协调方程： 2 ( )0 ∇ += σ σ x y 。 如果能找到一个函数 A ，使得 , x xy A A y x σ τ ∂ ∂ = =− ∂ ∂ ，则平衡方程第一式可自动满足， A 可 以按下面的步骤来求 00 00 00 (,) (,) (,) (,) (,) (,) ( ) ( (,) (,) ) xy xy xy xy x xy xy xy A A A dA d d d d ξ η τ ξη ξ σ ξη η ξ η ∂ ∂ = = + =− + ∂ ∂ ∫∫ ∫ (7.16) 同理，存在函数 B ，使得 , y xy B B x y σ τ ∂ ∂ =− = ∂ ∂ ，平衡方程第二式自动满足，并且有 0 A B x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ (7.17) 再引进函数U ，使 , U U A B y x ∂ ∂ = =− ∂ ∂ ，则 22 2 2 2 , , x y xy UU U y x xy σστ ∂ ∂ ∂ = = =− ∂ ∂ ∂∂ 。 将应力的表达式代入应力协调方程，有 2 2 ∇ ∇ = U 0 (7.18) 即 4 44 4 22 4 2 0 U UU x xy y ∂ ∂∂ + + = ∂ ∂∂ ∂ (7.19) 平面问题就归结为寻找满足边界条件的双调和函数U 。 II 有体力情形 (1) 常体力， , x y f f 都是常量 平衡方程 0 0 x xy x xy y y f x y f x y σ τ τ σ ⎧∂ ∂ + + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + + = ⎩ ⎪ ∂ ∂ (7.20) 可改写为