分量形式： +yau+o必)+1f=0 Vu+ 1-v dx dx dy 1+yau+0)+1f,=0 (7.9) 1-v ay ax dy 其中V2= 3+、 是=维Laplace算子，了= i+j二维Hamlon算子。 8x >以应力表示的平面问题的方程 将本构关系 E _4(6,+0,) E +6,E y= (o,+0y) (7.10) E 1+yt对 w E 代入应变协调方程： 0型，得 axdy s ⊙2 8o-v dx2 0+0）=20+wa 2 (7.11) 从平衡方程 t型+f.=0 00x+ Ox y (7.12) a0z+,=0 a7.12+7.122得 y + d2 o+2 +头+=0 (7.13) Oxoy dx oy (7.11)八(7.13)消去t,得( *家a,+a,J+0+yx+）=0,即 2 Ox oy 72(o.+o,)+(1+y)7f=0 (7.14) 无体力时，72(o+0,)=0。 7.2Airy应力函数5 分量形式： 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 () 0 1 1 1 () 0 1 x y u v u f xx y u v v f yx y ν ν μ ν ν μ ⎧ + ∂∂ ∂ ∇+ + + = ⎪ ⎪ −∂∂ ∂ ⎨ + ∂∂ ∂ ⎪∇+ + + = ⎪ −∂∂ ∂ ⎩ (7.9) 其中 2 2 2 2 2 x y ∂ ∂ ∇= + ∂ ∂ 是二维 Laplace 算子， x y ∂ ∂ ∇= + ∂ ∂ i j 二维 Hamilton 算子。 ¾ 以应力表示的平面问题的方程 将本构关系 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 x x xy y y xy xy xy E E E E E ν ν ε σ σσ ν ν ε σ σσ ν ε τ + = −+ + = −+ + = (7.10) 代入应变协调方程： 2 2 2 2 2 2 x y xy y x xy ∂ ε ∂ ∂ ε ε + = ∂ ∂ ∂∂ ，得 2 2 2 22 22 22 1 1 ( ) 2(1 ) x x y y xy y x x y xy σ σ σ σ τ ν ν ∂ ∂ ∂ ∂∂ + − + =+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ (7.11) 从平衡方程 0 0 x xy x xy y y f x y f x y σ τ τ σ ⎧∂ ∂ + + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + + = ⎪ ⎩ ∂ ∂ (7.12) 1 2 (7.12) (7.12) x y ∂ ∂ + ∂ ∂ 得 2 2 2 2 2 2 0 x x y xy y f f x y xy x y ∂ ∂ σ ∂∂ ∂ σ τ + + ++= ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ (7.13) (7.11)、(7.13)消去 xy τ 得 2 2 2 2 1 ( )( ) (1 )( ) 0 x y x y f f x y xy σσ ν ∂ ∂ ∂ ∂ + + ++ + = ∂ ∂ ∂∂ ，即 2 1 ( ) (1 ) 0 ∇ + ++ ∇= σσ ν x y if (7.14) 无体力时， 2 ( )0 ∇ += σ σ x y 。 7.2 Airy 应力函数