F,+o 式中,E1、E2、E3分别为沿主应力σ1、O2、O3方向的应变,称为主应变 对于平面应力状态,广义胡克定律(5-10简化为 =1(-1) 2.各向同性材料各弹性常数之间的关系 对于同一种各向同性材料,广义胡克定律中的三个弹性常数并不完全独立,它们之间存 在下列关系: G E (5-13) 2(1+v 上述关系可以通过理论分析加以证明 需要指出的是,对于绝大多数各向同性材料,泊松比一般在0~05之间取值,因此 E/2≥G≥EB3。 §5-7一般应力状态下的应变能密度 1.总应变密度 考察图5-7b中以主应力表示的三向应力状态,其主应力和主应变分别为 和E1、E2、E3假设应力和应变都同时自零开始逐渐增加至终F 值 根据能量守恒原理,材料在弹性范围内工作时,微元三对 面上的力(其值为应力与面积之乘积)在由各自对应应变所产生 的位移上所作之功,全部转变为一种能量贮存于微元内。这种 能量称为弹性应变能,简称为应变能,用dV.表示。若以V表 示微元的体积,则定义dV/dV应变能密度,用v表示 当材料的应力应变满足广义胡克定律时,在小变形的条件 下,相应的力和位移亦存在线性关系,如图5-8所示。这时力作 图5-8 功为 W=-FA (5-14) 对于弹性体,此功将转变为弹性应变能V 设微元的三对边长分别为dx、dy、dz,则与力σ1ddz、σ2dxdz、σ3dxdy相对应的位 移分别为E1dx、E2d、E3dz。这些力所作之功10  ( ) 3 3 1 2 1  =  −  + E 式中， 1  、 2  、 3  分别为沿主应力  1、 2 、 3 方向的应变，称为主应变。 对于平面应力状态，广义胡克定律(5-10)简化为 ( ) x x y E  =  − 1 ( ) y y x E  =  − 1 ( ) z x y E     = − + （5-12） G xy xy   = 2. 各向同性材料各弹性常数之间的关系 对于同一种各向同性材料，广义胡克定律中的三个弹性常数并不完全独立，它们之间存 在下列关系： ( + ) = 2 1 E G （5-13） 上述关系可以通过理论分析加以证明。 需要指出的是，对于绝大多数各向同性材料，泊松比一般在 0~0.5 之间取值，因此 E/2  G  E/3。 §5-7 一般应力状态下的应变能密度 1. 总应变密度 考察图 5-7b 中以主应力表示的三向应力状态，其主应力和主应变分别为  1、 2 、 3 和 1  、 2  、 3  。假设应力和应变都同时自零开始逐渐增加至终 值。 根据能量守恒原理，材料在弹性范围内工作时，微元三对 面上的力(其值为应力与面积之乘积)在由各自对应应变所产生 的位移上所作之功，全部转变为一种能量贮存于微元内。这种 能量称为弹性应变能，简称为应变能，用 dVε表示。若以 dV 表 示微元的体积，则定义 dVε/dV 应变能密度，用  v 表示。 当材料的应力-应变满足广义胡克定律时，在小变形的条件 下，相应的力和位移亦存在线性关系，如图 5-8 所示。这时力作 功为 W = FP 2 1 （5-14） 对于弹性体，此功将转变为弹性应变能 Vε。 设微元的三对边长分别为 dx、dy、dz，则与力  1 dydz、 2 dxdz、 3 dxdy 相对应的位 移分别为 1  dx、 2  dy、 3  dz。这些力所作之功 图 5-8