当x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(l+x)~ex-l, 1-cosx,2x~sin2x~tan2x. 2 例5求下列函数的极限 (1)lim 1-cosx (2)lim- tanx-sinx +03x2 X+0 x3 解 (1)liml-cosx=lim 2 x→0 3x2 (x→0,1-c0sx 3x2=6 2 (2)lim tanx-sin x=lim sin x(1-cosx) x>0 sin'x x→0 x3cOSx sinx (1-cosx)1 =lim- x→0X x2 COSx 2sin2 如上题回=一行=0，即得一错误结果。 x>0 sin3x 6.利用函数的连续性求函数极限 小结利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极 限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序. 例6求下列函数的极限 (1) x2+sinx lim (2)lim arcsin(x2+x-x). e*v1+x2 解()）因为+sm是初等函数，在x=2处有定义， e*v1+x2 所以lim x2+sinx 4+sin2 2e2V1+x2e25 (2)函数arcsin(Vx2+x-x)看成由y=sinu,u=√x2+x-x复合而成，当 x  0 时, x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) ~ e 1 x  , 2 2 1 1 cos x ~ x , 2x ~ sin 2x ~ tan 2x． 例 5 求下列函数的极限 （1） 2 0 3 1 cos lim x x x   ， （2） 3 0 tan sin limx x x  x ． 解 （1） 2 0 3 1 cos lim x x x   = 6 1 3 2 1 lim 2 2 0   x x x （ 2 2 1 x  0,1 cos x ~ x ）． （2） x x x x 3 0 sin tan sin lim   = x x x x x cos sin (1 cos ) lim 3 0   2 0 sin (1 cos ) 1 lim cos x x x  x x x     = 2 2 0 2 2sin lim x x x = 2 1 （ 2 2 2 ~ 2 0,sin        x x x ） ． 如上题 lim 0 sin tan sin lim 3 0 3 0       x x x x x x x x , 即得一错误结果． 6. 利用函数的连续性求函数极限 小结 利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极 限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序． 例 6 求下列函数的极限 （1） 2 lim x 2 2 e 1 sin x x x x   ， （2） lim arcsin( ) 2 x x x x    ． 解 (1) 因为 2 2 e 1 sin x x x x   是初等函数，在 x  2处有定义， 所以 e 5 4 sin 2 e 1 sin lim 2 2 2 2 2      x x x x ， (2) 函数arcsin( ) 2 x  x  x 看成由 y  u u  x  x  x 2 sin , 复合而成