绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积 解:绕x轴旋转的旋转体体积 y y(x) V=f Ty()dx =z a'(-cos1)2-a(l-cost)dt =m(1-3c09+3c1-ot=5m2a 绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转 体的体积之差 2 B x=x,( A xaG)dt Tx(dt =ta(t-sin t.asin tdt -a(-sin t).asin tdt (t-sin t)sn tdt =62 补充:如果旋转体是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲 边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,体积为=2rx|f(x)ldr 利用这个公式,可知上例中 V=2T xIf(x)ldx =2r a(t-sin t).a(1-cost)d[a(t-sin t) =mab(-sin (Xl-cos),dt=67'a 例4求由曲线y=4-x2及y=0所围成的图形绕直线x=3旋转构成旋转体的 体积4 绕 x 轴、 y 轴旋转构成旋转体的体积. 解：绕 x 轴旋转的旋转体体积 V y x dx a x ( ) 2 2 0 =    = −  −   2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt  = − + −   2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 =  a 绕 y 轴旋转的旋转体体积可看作平面图 OABC 与 OBC 分别绕 y 轴旋转构成旋转 体的体积之差. V x y dt a y ( ) 2 2 0 2  =  x y dt a ( ) 2 2 0 1  −   = −     2 2 2 a (t sin t) asin tdt  − −    0 2 2 a (t sin t) asin tdt  = −   2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 . 3 3 =  a 补充：如果旋转体是由连续曲线 y = f (x) 、直线 x = a、x = b 及 x 轴所围成的曲 边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为 V x f x dx b a y 2 | ( )|  =  利用这个公式，可知上例中 V x f x dx a y 2 | ( )| 2 0 =    = −  − −   2 0 2 a(t sin t) a(1 cost)d[a(t sin t)]  = − −   2 0 3 2 2 a (t sin t)(1 cost) dt 6 . 3 3 =  a 例 4 求由曲线 2 y = 4 − x 及 y = 0 所围成的图形绕直线 x = 3 旋转构成旋转体的 体积. a 2a y(x) o y 2a x A C B 2a ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y