3解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 §5.3解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 ★介绍解析函数的两个重要性质,它们具有非常重要的理论价值 定义如果f(z)在α点及其邻域内解析,f(a)=0,则称z=a为f(2)的零点 设∫(x)在z=a点及其邻域内解析,则当|z-a充分小时, f(2)=∑an(2-a)n, 故若z=a为零点,则必有 此时,称z=a点为f(2)的m阶零点,相应地 f(a)=f(a)=…=f(m-1)(a)=0,f(m(a)≠0 零点的阶数都是确定的正整数——一在函数的解析区域内,不可能有分数次的零点 解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性 定理52若f(2)不恒等于零,且在包含z=a在内的区域内解析,则必能找到圆|z-a= (p>0),使在圆内除了z=a可能为零点外,f(2)无其他零点 这个定理称为解析函数的零点孤立性定理.根据这个定理,可以推出解析函数零点 的下面两个重要性质 推论1设f(z)在G:|z-叫<R内解析.若在G内存在∫(z)的无穷多个零点{zn},且 但zn≠a,则f(2)在G内恒为0 推论1中的条件 lim zn=a可以减弱为序列{zn}的一个极限点为a 推论2设f(2)在G:|z-叫<R内解析.若在G内存在过a点的一段弧l或含有a点的 个子区域g,在l上或g内f(2)≡0,则在整个区域G内f(2)≡0 推论2的成立范围是以z=a点为圆心的圓域,但是很容易推广到一般形状的区域 推论3设f(z)在G内解析·若在G内存在一点z=a及过a点的一段弧l或含有a点的 个子区域g,在l上或g内f(2)≡0,则在整个区域G内f(2)≡0§5.3 ✄☎✆✝✞➺➻➼➽✡➾✄☎✆✝✞➚➪✡ ✌ 8 ✍ §5.3 ✜✢✣✤✥➶➹➘➴➷➬✜✢✣✤✥➮➱➷ F ❅❆■❏❃❄❊✏ü✃❶òó❑☞✦❐♠❒❊✃❶❊⑤ú❮➄✸ ❀❰ ✜✫ f(z) ❅ a ◗ ● ❬Ï r ❋■❏❑ f(a) = 0 ❑▲➏ z = a ❇ f(z) ❊Ð ◗✸ ❂ f(z) ❅ z = a ◗ ● ❬Ï r ❋■❏❑▲➆ |z − a| Ñ❤Ò❴❑ f(z) = X∞ n=0 an(z − a) n , ✖Ó z = a ❇Ð ◗ ❑▲✯♠ a0 = a1 = · · · = am−1 = 0, am 6= 0. ♣ ❴❑➏ z = a ◗ ❇ f(z) ❊ m ➫Ð ◗ ❑➧❡❨❑ f(a) = f 0 (a) = · · · = f (m−1)(a) = 0, f(m) (a) 6= 0. Ð ◗ ❊➫❄þ♦✍ ④❊Ôû❄ ❅❃❄❊■❏qr ❋❑➩❘✵♠❤❄❢❊Ð ◗✸ ✶✷✫✬Õß✯★✩Ö❺×Ø➟✮✯ÙÚ× ❀❁ 5.2 Ó f(z) ➩Û✬◆Ð❑ ✄ ❅ÜÝ z = a ❅ ❋❊qr ❋■❏❑▲✯✵Þ✑ ❈ |z − a| = ρ (ρ > 0) ❑✲❅ ❈❋ß➷ z = a ❘✵❇Ð ◗à ❑ f(z) á ❬■ Ð ◗✸ ➎✩➓âã↔✶✷✫✬✯ÕßÙÚ×➓â✸äå➎✩➓â ❑ → ➣t ②✶✷✫✬Õß ✯æ çè✩Ö❺×Ø③ éê 1 ❂ f(z) ❅ G : |z − a| < R ❋■❏✸Ó❅ G ❋➯❅ f(z) ❊áë➃üÐ ◗ {zn} ❑ ✄ limn→∞ zn = a, ♥ zn 6= a ❑▲ f(z) ❅ G ❋Û❇ 0 ✸ tì 1 ❻✯íî limn→∞ zn = a → ➣ïð↔ñò {zn} ✯★✩óôß↔ a ✸ éê 2 ❂ f(z) ❅ G : |z − a| < R ❋■❏✸Ó❅ G ❋➯❅õ a ◗ ❊❧ö÷ l ❳Ý♠ a ◗ ❊❧ üøqr g ❑❅ l ❍❳ g ❋ f(z) ≡ 0 ❑▲❅ûüqr G ❋ f(z) ≡ 0 ✸ tì 2 ✯✽Ú ➸➜➟ ➣ z = a ß↔ ✲↕✯ ✲ù ❑③➟ú④ ⑤t û♣★Ùüý✯ þù✸ éê 3 ❂ f(z) ❅ G ❋■❏✸Ó❅ G ❋➯❅❧◗ z = a ●õ a ◗ ❊❧ö÷ l ❳Ý♠ a ◗ ❊❧ üøqr g ❑❅ l ❍❳ g ❋ f(z) ≡ 0 ❑▲❅ûüqr G ❋ f(z) ≡ 0 ✸