·1382· 工程科学学报，第37卷，第10期 有一个可行解U,X,Y,则状态反馈控制器(24)是不 确定系统(18)的具有H。保成本控制器，且u(k)= 「E 0> 0 oTo YX(),性能指标J有上界了=(0)TXx(O). 0 0 2 00 HK 0 式(28)中 .0 0 0」 0 0 0L0 00 r0, U, U, 0= U U 0 0 0 0 E E,01 U 0 H,K 0 0 2 0 0 0 0 <0. 证明：将式(26)分解得到 0 0 0 0 0 0 0 0 0」 (29) -P-1+y-2前 A+△A+BX+△BX y2DDI (A+△+派+△B)T-P+KHR+0 ST 由引理3可知，对所有满足≤【矩阵三，矩阵不等 式(29)成立，若存在正定对称矩阵U≤I使得 yDDT yD DI-1 A+BK Y-DDI -P-+yDD A+BK -P1+y20 (A+BK)T ST (A+BK)T -P+KHK+0 ST -P+KHK+0 yD Di-I yDD S YDD yD DI-I 0 △A+△BK0 「EE, OTE E. 0 (△A+△BK)T 0 0 0 <0. 0 0 0 00 0 -0 0 0 0L0 00 0」 利用式(21)和式(22)对上式变形可得 0 A 0 0 0 -P-1+y2D0r A+BK YDDI 0 H,K 0 0 AK 0 <0. (A+BK)T -P+KHK+0 s" LO 0 LO 0 0 yDDT S yD DI-1 再次利用Schur补引理可知上式等价于 -PYD A+BK YDDT 0 0 0 (A+BK)T -P+KHK +0 ST H KH 0 yD DI Y-D DI -I 0 0 0 <0. (30) 0 a 0 U, U, U, 0 H.K 0 U U. U 0 0 0 U U U。」 对上式进行合同变换，对它左乘以对称矩阵dig(1,P,L,1,I,),同时右乘以这个矩阵的转置（即它自己）， 并令X=P,Y=KP可得 -X+y防+夏E AX+BY YDDI 0 0 0 (AX+BY)T -X+YHY +XOX XTST XH YH 0 Y DD SX y2D,D-10 0 0 <0. (31) 0 HX 0 U U, U 0 H,Y 0 U吲 U U 0 0 0 U U U。J工程科学学报，第 37 卷，第 10 期 有一个可行解 U，X，Y，则状态反馈控制器( 24) 是不 确定系统( 18) 的具有 H∞ 保成本控制器，且 u( k) = YX － 1 x槇( k) ，性能指标 J 有上界 J* = x槇( 0) T X － 1 x槇( 0) ． 式( 28) 中 U = － U1 U2 U3 UT 2 U4 U5 UT 3 UT 5 U        6 ． 证明: 将式( 26) 分解得到 － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K γ － 2 D 槇DT 1 ( A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST γ － 2 D1D 槇T S γ － 2 D1DT 1 －            I = － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + B 槇K γ － 2 D 槇DT 1 ( A 槇 + B 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST γ － 2 D1D 槇T S γ － 2 D1DT 1 －            I + 0 ΔA 槇 + ΔB 槇K 0 ( ΔA 槇 + ΔB 槇K) T 0 0          0 0 0 ＜ 0． 利用式( 21) 和式( 22) 对上式变形可得 － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + B 槇K γ － 2 D 槇DT 1 ( A 槇 + B 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST γ － 2 D1DT 1 － I γ － 2 D1D 槇T S γ － 2 D1DT 1 －            I + E 槇1 E 槇2 0 0 0 0        0 0 0 Σ 槇1 0 0 0 Σ 槇2 0          0 0 0 0 H 槇1 0 0 H 槇2K 0          0 0 0 + 0 H 槇1 0 0 H 槇2K 0          0 0 0 T Σ 槇1 0 0 0 Σ 槇2 0          0 0 0 T E 槇1 E 槇2 0 0 0 0        0 0 0 T ＜ 0． ( 29) 由引理 3 可知，对所有满足 Σ 槇iΣ 槇T i ≤I 矩阵 Σ 槇i，矩阵不等 式( 29) 成立，若存在正定对称矩阵 U≤I 使得 － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + B 槇K γ － 2 D 槇DT 1 ( A 槇 + B 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST γ － 2 D1D 槇T S γ － 2 D1DT 1 －            I + E 槇1 E 槇2 0 0 0 0        0 0 0 E 槇1 E 槇2 0 0 0 0        0 0 0 T + 0 H 槇1 0 0 H 槇2K 0          0 0 0 T U － 1 0 H 槇1 0 0 H 槇2K 0          0 0 0 ＜ 0． 再次利用 Schur 补引理可知上式等价于 － P－1 + γ －2 D 槇槇DT + ∑ 2 i = 1 E 槇iE 槇T i A 槇 + B 槇K γ －2 DDT 1 0 0 0 ( A 槇 + B 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST H 槇T 1 KT H 槇T 2 0 γ －2 D1DT S γ －2 D1DT 1 － I 0 0 0 0 H 槇1 0 U1 U2 U3 0 H 槇2K 0 UT 2 U4 U5 0 0 0 UT 3 UT 5 U                         6 ＜ 0． ( 30) 对上式进行合同变换，对它左乘以对称矩阵 diag( I，P － 1 ，I，I，I，I) ，同时右乘以这个矩阵的转置( 即它自己) ， 并令 X = P － 1 ，Y = KP － 1 可得 － X + γ －2 D 槇槇DT + ∑ 2 i = 1 E 槇iE 槇T i A 槇X + B 槇Y γ －2 D 槇DT 1 0 0 0 ( A 槇X + B 槇Y) T － X + YT HY + XT Q 槇X XT ST XT H 槇T 1 YT H 槇T 2 0 γ －2 D1D 槇T SX γ －2 D1DT 1 － I 0 0 0 0 H 槇1X 0 U1 U2 U3 0 H 槇2Y 0 UT 2 U4 U5 0 0 0 UT 3 UT 5 U                         6 ＜ 0． ( 31) ·1382·