李丽等：具有跟踪鲁棒性能的H_最优预见控制 ·1381· 和式(27)可得 [APA+STS-P APD+SD -P1 A+△A+BK+△BK] N= <0 DPA+DIS -Y1+DPD+DD (A+△A+BK+△BK)T -P 下面证明W<0.记 由Schur补引理可得，上式等价于M<0,从而△V≤ 4 入(M)‖()I2,因此闭环系统是二次稳定的. -P-1+y2D0 第二步证明其保成本性. 21= y-D DI-I S AT ST 同样从矩阵yD迹0]≥0及式(27)可知 L oo] -p D 0 -P-1 -1 A+△A+BK+△BK] D <0. 22= A ST -P0 (A+△A+BK+△BK)T-P+0+KHK 由Schur补引理可知上式等价于 DD 0 -y21 对矩阵22进行合同变换 A+△A+BK+△BK]'PA+△A+BK+ △BK]-P+0+KHK<0. 「100y1 100y2m1 因此有 0 y-D 0 I 0 YD Js名(-aM=vo=opo=. 001 0 001 0 L000 L000 第三步证明H_范数有界性. [2 0 在零初始条件下，引入 -i -会因-rw0]. 01 式(26)易得<0，从雨0 <0,由于 对任意的w(k)∈L,[D,),利用Lyapunov泛函和零 初始条件 0)和，是合同的，进而，<0.然后利用 =A L0-y2 ()'z(k)-y2w()Tw()+ Schur补引理可知2，<0等价于N<0,再由N<0可 avr因)]+点（-avr)= 以得J<0,所以有Iz(k)I2≤y‖w(k)I2·定理1 得证. 言g国g因. 定理2给出控制器设计的方法. 定理2若假设1和假设2成立，给定y>0,如果 其中， 存在正定对称矩阵0<U≤I,对称正定矩阵X及矩阵 5因-份1i-:Ai:瓢+款 Y,使得对所有允许的不确定性和干扰w,使得LMI -X+∑EE+y2D0 AX+BY YDDI 0 00 0 0 (AX+BY) -X XC+YET XH YH:0 Y X02 yDD C X+EY yD D:-I 0 00 0 0 0 HX 0 U U, U, 0 0 <0(28) 0 H.Y 0 U U U 0 0 0 0 0 U U U 0 0 0 Y 0 0 -H 0 0 Ox 0 0 0 0 0 -I李 丽等: 具有跟踪鲁棒性能的 H∞ 最优预见控制 和式( 27) 可得 － P － 1 A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K ( A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K) T － [ ] P ＜ 0． 由 Schur 补引理可得，上式等价于 M ＜ 0，从而 ΔV≤ λmax ( M) ‖x 槇( k) ‖2 ，因此闭环系统是二次稳定的． 第二步 证明其保成本性． 同样从矩阵 γ － 2 D 槇槇DT 0 [ ] 0 0 ≥0 及式( 27) 可知 － P － 1 A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K ( A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K) T － P + Q 槇 + K [ ] T HK ＜ 0． 由 Schur 补引理可知上式等价于 ［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］T P［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］－ P + Q 槇 + KT HK ＜ 0． 因此有 J≤ ∑ ∞ k = 0 ( － ΔV) = V( 0) = x槇( 0) T P x槇( 0) = J* ． 第三步 证明 H∞ 范数有界性． 在零初始条件下，引入 J' = ∑ ∞ k = 0 ［z( k) T z( k) － γ2 w( k) T w( k) ］． 对任意的 w( k) ∈L2［0，∞ ) ，利用 Lyapunov 泛函和零 初始条件 J' = ∑ ∞ k = 0 ［z( k) T z( k) － γ2 w( k) T w( k) + ΔV( x槇( k) ) ］+ ∑ ∞ k = 0 ( － ΔV( x槇( k) ) ) = ∑ ∞ k = 0 ζ( k) T Nζ( k) ． 其中， ζ( k) = x( k) w( k [ ] ) ，^ A = A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K， N = ^ AT P ^ A + ST S － P ^ AT P D 槇 + ST D1 D 槇T P ^ A + DT 1 S － γ2 I + D 槇T P D 槇 + DT 1 D        1  ． 下面证明 N ＜ 0． 记 Ω1 = － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT γ － 2 D 槇DT 1 ^ A γ － 2 D1D 槇T γ － 2 D1DT 1 － I S ^ AT ST －          P ， Ω2 = － P － 1 0 A ^ D 槇 0 － I S D1 ^ AT ST － P 0 D 槇T DT 1 0 － γ2              I ． 对矩阵 Ω2 进行合同变换 I 0 0 γ － 2 D 槇 0 I 0 γ － 2 D1 0 0 I 0 0 0 0            I  Ω2 I 0 0 γ － 2 D 槇 0 I 0 γ － 2 D1 0 0 I 0 0 0 0            I  T = Ω1 0 0 － γ [ ] 2 I ． 由式 ( 26 ) 易 得 Ω1 ＜ 0，从 而 Ω1 0 0 － γ [ ] 2 I ＜ 0，由 于 Ω1 0 0 － γ [ ] 2 I 和 Ω2 是合同的，进而 Ω2 ＜ 0． 然后利用 Schur 补引理可知 Ω2 ＜ 0 等价于 N ＜ 0，再由 N ＜ 0 可 以得 J' ＜ 0，所以有‖z( k) ‖2≤γ‖w( k) ‖2 ． 定理 1 得证． 定理 2 给出控制器设计的方法． 定理 2 若假设 1 和假设 2 成立，给定 γ ＞ 0，如果 存在正定对称矩阵 0 ＜ U≤I，对称正定矩阵 X 及矩阵 Y，使得对所有允许的不确定性和干扰 w，使得 LMI － X + ∑ 2 i = 1 E 槇iE 槇T i + γ －2 D 槇槇DT A 槇X + B 槇Y γ －2 D 槇DT 1 0 0 0 0 0 ( A 槇X + B 槇Y) T － X XT C 槇T 1 + YT ET XT H 槇T 1 YT H 槇T 2 0 YT XT Q 槇1 /2 γ －2 D1D 槇T C 槇1X + EY γ －2 D1DT 1 － I 0 0 0 0 0 0 H 槇1X 0 U1 U2 U3 0 0 0 H 槇2Y 0 UT 2 U4 U5 0 0 0 0 0 UT 3 UT 5 U6 0 0 0 Y 0 0 0 0 － H－1 0 0 Q 槇1 /2 X 0 0 0 0 0 －                                 I ＜ 0 ( 28) ·1381·