·1380· 工程科学学报，第37卷，第10期 CD ro C△A 0:07 下面我们利用LI的有关理论和方法给出式 D 0 (24)中的控制器增益矩阵K,使得闭环系统(25)满足 △A= T△A 01 44 00 0 0 0 0 00 第一节所述的鲁棒性能. 0 0 00 3 带有预见作用的H,控制器的设计 C△B △B C=C,0]=0C0:0] 下面的定理1给出闭环系统(25)为H.范数界y 0 保成本可镇定的充分条件 0 定理1若假设1和假设2成立，给定Y>0,如果 式(18)、(19)和(20)一起，就是我们设计预见控制器 存在对称正定矩阵P和矩阵K,满足不等式 所需要的系统 由式(13)和式(14)可得系统(18)中不确定矩阵 -P1+y2前A+4+派+派y2i加 可表示为 (G+△+BX+△B)T-P+KH胍+0 <0 y2D DT S y-2D D:-1] [6E同0=a, (26) (21) 则当采用状态反馈控制器(24)时，闭环系统(25)是具 -[-]E瓜-zm 有H.范数界Y保成本可镇定的，且性能指标J有上界 广=(O)TPR(O).其中S=C+EK (22) 证明：选取Lyapunov函数 这里， V((k))=(k)P(k). 由于P>0,所以这个Lyapunov函数是正定的.该Lya- punov函数沿系统(18)的闭环系统(25)的轨线的差 1a=a,之- 分为 △V(R(k))=(k+1)TP(k+1)-(k)TP(k)= 即形式系统(18)仍然满足匹配条件 同样，把性能指标函数用式(18)中的有关量表示 {R(k)TA+△A+BK+△BKT+w(k)T) 可得 P{A+AA+BK+△BK](k)+ 了=J+名（倒'0.（因= D(k)}-(k)TP(k). 当w(k)=0时，将式(25)代入上式整理得 △V(R(k))=R(k)TM(). 其中 a('Ha(因+('Q.(= M=+△A+BK+△BK]TPA+ a{ww[881图1 △A+BK+△BK]-P. 下面分三步证明结论. 第一步证明闭环系统二次稳定 因ra(因}=云R('Q)+ 由高等代数相关知识可知，不等式(26)成立 时，有 u(k)'Hu(]. (23) ,H如上所定义 -P-+y2DD A+△A+BK+△BK] <0, (A+△A+BK+△BK)T-P+KHK+O 假设系统(18)的控制输入为 (27) u(k)=K(k), (24) 从明显的结果 那么系统(18)的闭环系统为 R(k+1)=A+△A+BK+△BK]r(k)+Dw(). 0 0 ≥0 (25) +KHK工程科学学报，第 37 卷，第 10 期 D 槇 = D [ ] 0 = CD D            0 0 ，ΔA 槇 = ΔA 0 [ ] 0 0 = 0 CΔA 0 0 0 ΔA 0 0 0 0 0 0                0 0 0 0 ， ΔB 槇 = ΔB [ ] 0 = CΔB ΔB           0 0 ，C 槇1 =［C1 0］=［0 C1 00］． 式( 18) 、( 19) 和( 20) 一起，就是我们设计预见控制器 所需要的系统． 由式( 13) 和式( 14) 可得系统( 18) 中不确定矩阵 可表示为 ΔA 槇 = ΔA 0 [ ] 0 0 = E1Σ1H1 0 [ ] 0 0 = E1 [ ] 0 Σ1［H1 0］= E 槇1Σ 槇1H 槇1， ( 21) ΔB 槇 = ΔB [ ] 0 = E2Σ2H2 [ ] 0 = E2 [ ] 0 Σ2H2 = E 槇2Σ 槇2H 槇2 ． ( 22) 这里， E 槇1 = E1 [ ] 0 ，H 槇1 =［H1 0］，Σ 槇1 = Σ1， E 槇2 = E2 [ ] 0 ，H 槇2 = H2，Σ 槇2 = Σ2 ． 即形式系统( 18) 仍然满足匹配条件． 同样，把性能指标函数用式( 18) 中的有关量表示 可得 J 槇 = J + ∑ ∞ k = 0 v( k) T Qv v( k) = ∑ ∞ k = 0 {［X1 ( k) T XＲ ( k) T ］Q X1 ( k) XＲ [ ] ( k) + u( k) T Hu( k) + v( k) T Qv v( k } ) = ∑ ∞ k = 0 {［x( k) T v( k) T ］ Q 0 [ ] 0 Qv x( k) v( k [ ] ) + u( k) T Hu( k } ) = ∑ ∞ k = 0 ［x槇( k) T Q槇x槇( k) + u( k) T Hu( k) ］． ( 23) 其中，Q 槇 = Q 0 [ ] 0 Qv ，H 如上所定义． 假设系统( 18) 的控制输入为 u( k) = Kx槇( k) ， ( 24) 那么系统( 18) 的闭环系统为 x槇( k + 1) =［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］x槇( k) + D 槇w( k) ． ( 25) 下面我 们 利 用 LMI 的有关理论和方法给出式 ( 24) 中的控制器增益矩阵 K，使得闭环系统( 25) 满足 第一节所述的鲁棒性能． 3 带有预见作用的 H∞ 控制器的设计 下面的定理 1 给出闭环系统( 25) 为 H∞ 范数界 γ 保成本可镇定的充分条件． 定理 1 若假设 1 和假设 2 成立，给定 γ ＞ 0，如果 存在对称正定矩阵 P 和矩阵 K，满足不等式 － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K γ － 2 D 槇DT 1 ( A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST γ － 2 D1D 槇T S γ － 2 D1DT 1 －            I ＜ 0， ( 26) 则当采用状态反馈控制器( 24) 时，闭环系统( 25) 是具 有 H∞ 范数界 γ 保成本可镇定的，且性能指标 J 有上界 J* = x槇( 0) T Px槇( 0) ． 其中 S = C 槇1 + EK． 证明: 选取 Lyapunov 函数 V( x 槇( k) ) = x槇( k) T P x槇( k) ． 由于 P ＞ 0，所以这个 Lyapunov 函数是正定的． 该 Lya￾punov 函数沿系统( 18) 的闭环系统( 25) 的轨线的差 分为 ΔV( x槇( k) ) = x槇( k + 1) T P x槇( k + 1) － x槇( k) T P x槇( k) = { x槇( k) T ［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］T + w( k) T D 槇T } P{ ［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］x槇( k) + D 槇w( k) } － x槇( k) T P x槇( k) ． 当 w( k) = 0 时，将式( 25) 代入上式整理得 ΔV( x槇( k) ) = x槇( k) T M x槇( k) ． 其中 M =［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］T P［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］－ P． 下面分三步证明结论． 第一步 证明闭环系统二次稳定． 由高等 代 数 相 关 知 识 可 知，不 等 式 ( 26 ) 成 立 时，有 － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K ( A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K) T － P + KT [ ] HK + Q 槇 ＜ 0， ( 27) 从明显的结果 γ － 2 D 槇槇DT 0 0 Q 槇 + K [ ] T HK ≥0 ·1380·