李丽等：具有跟踪鲁棒性能的H.最优预见控制 ·1383· 根据Schur补性质可知，式(28)等价于式(31)，故式 (28)能保证式(31)成立.又因为式(31)和式(30)是 e(s)+v(0)). 合同的的，所以式(30)成立，从而式(29)成立，进而式 因此定理4得证. (26)成立.由定理1可知定理2成立. 4数值仿真 定理3对于给定的y>0,如果以下优化问题 Trace (G) 考虑离散时间系统 s.ti(28) (32) rx(k+1)=A+△4]x(k)+B+△B]u()+Dw(), 可9o, y()=Cx(), (33) z(A)=C,x()+Eu(）+D,w(), iii0<U≤I,G>0 (34) (37) 取 有一个最优解(U,X,Y,G),则u(k)=YX-x (k)是系统(18)H.最优保性能控制律，相应的一个系 g&g1,a=6s1,D-851 r0.70650.33801 A= 统性能上界是J=Trace(X). 证明：根据定理2，利用问题(32)和(34)的任意可 c-0121.c-0218=[a-61 行解构造得到的控制律u(k)=YXx(k)将保证闭环 系统二次稳定且满足H.范数有界性.由定理2可知 -0m 闭环系统性能指标的界依赖初始状态，采用相关文献 0.1a3 0.2cos(0.3km)+a11 的常用假设可得J=Trace(P)=Trace(X),则闭环 0.3sin(0.5km)+az -0.01 系统的性能指标J≤Trace(X).进而，从矩阵Schur 补性质，式(33)等价于X1<G.因此Trace(G)的最 r0. 0-02] 小化将保证性能上界的最小化.约束条件和目标函数 的凸性保证了如果由式(32)、(33)和(34)确定的问题 -80 有解，则一定是该问题的全局最优解.定理3得证. r0.Isin (0.lkm)+a3 0.3a1 定理4若假设1和假设2成立，定理3中的由式 (32)~式(34)确定的优化问题有一个最优解(U°， -0.2a2 a4sa54e+nl【o9il X,Y,G),则系统(1)的控制输入可以取为 1a,1≤0.5(i=1,2,3,4)为不确定参数.千扰取为 a)=ke因+kx因+龙k同rk+d+ w()=m0.01π，显然()∈L,D,x）. k+0.5 k(c0+ro. 与系统(1)对比，有 (35) 式中 g-80" K=k。k.ka(O)k.(1)…k.(Ma)k], 0.1a 0.2cos(0.3km）+a11 且在此控制律作用下，系统(1)的闭环系统的输出 王-{03sna.sa）+ -0.01 y(k)能够鲁棒跟踪目标值信号r(k),并且实现闭环系 统鲁棒稳定及系统的H.保性能控制最优化. a=-0 证明：当假设1和假设2成立时，我们可以得到扩 0.1sin(0.1kr)+a3 0.3a1 2= 大误差系统(18).如果定理3中的由式(32)~式 -0.2a2 0.4cos(0.5km)+aa] (34)确定的优化问题有一个最优解(U,X,Y, G).由定理3知 4=9 u(k)=Y'X (k)=K(k) (36) 验证知，和2对任何k满足不等式(3). 是系统(18)在性能指标(23)下的最优保性能控制律. 通过对误差的调整，我们取权重矩阵为Q.=5、 对增益矩阵K进行分解 2,=1.0和H=10.我们分别对预见步数MR=2、Mg= K=k。k,kR(O)kR(1)…kR(MR)k,], 5和没有预见三种情况，针对不同的目标值信号进行 则式(36)可写为 仿真.选取y=5,应用MATLAB的LMI工具箱可 u()=k.e()+kx()+∑k()r(k+i)+ 求得： 当预见步数Mg=2时，求得李 丽等: 具有跟踪鲁棒性能的 H∞ 最优预见控制 根据 Schur 补性质可知，式( 28) 等价于式( 31) ，故式 ( 28) 能保证式( 31) 成立． 又因为式( 31) 和式( 30) 是 合同的的，所以式( 30) 成立，从而式( 29) 成立，进而式 ( 26) 成立． 由定理 1 可知定理 2 成立． 定理 3 对于给定的 γ ＞ 0，如果以下优化问题 min U，X，Y，G Trace( G) s． t． i ( 28) ( 32) ii G I [ ] I X ＞ 0， ( 33) iii 0 ＜ U≤I，G ＞ 0 ( 34) 有一个最优解( U* ，X* ，Y* ，G* ) ，则 u( k) = Y* X* － 1 x 槇 ( k) 是系统( 18) H∞ 最优保性能控制律，相应的一个系 统性能上界是 J* = Trace( X* － 1 ) ． 证明: 根据定理 2，利用问题( 32) 和( 34) 的任意可 行解构造得到的控制律 u( k) = YX － 1 x 槇( k) 将保证闭环 系统二次稳定且满足 H∞ 范数有界性． 由定理 2 可知 闭环系统性能指标的界依赖初始状态，采用相关文献 的常用假设可得 J* = Trace( P) = Trace( X － 1 ) ，则闭环 系统的性能指标 J≤Trace( X － 1 ) ． 进而，从矩阵 Schur 补性质，式( 33) 等价于 X － 1 ＜ G． 因此 Trace( G) 的最 小化将保证性能上界的最小化． 约束条件和目标函数 的凸性保证了如果由式( 32) 、( 33) 和( 34) 确定的问题 有解，则一定是该问题的全局最优解． 定理 3 得证． 定理 4 若假设 1 和假设 2 成立，定理 3 中的由式 ( 32) ～ 式( 34) 确定的优化问题有一个最优解( U* ， X* ，Y* ，G* ) ，则系统( 1) 的控制输入可以取为 u( k) = ke e( k) + kxx( k) + ∑ MＲ i = 0 kＲ ( i) r( k + i) + kv ( ∑ k－1 s = 0 e( s) + v( 0) ) ． ( 35) 式中 K =［ke kx kＲ ( 0) kＲ ( 1) … kＲ ( MＲ ) kv］， 且在此控制律作用下，系 统( 1) 的闭环系统的输出 y( k) 能够鲁棒跟踪目标值信号 r( k) ，并且实现闭环系 统鲁棒稳定及系统的 H∞ 保性能控制最优化． 证明: 当假设 1 和假设 2 成立时，我们可以得到扩 大误差 系 统( 18) ． 如 果 定 理 3 中 的 由 式( 32 ) ～ 式 ( 34) 确定的优化问题有一个最优解( U* ，X* ，Y* ， G* ) ． 由定理 3 知 u( k) = Y* X* － 1 x 槇( k) = Kx槇( k) ( 36) 是系统( 18) 在性能指标( 23) 下的最优保性能控制律． 对增益矩阵 K 进行分解 K =［ke kx kＲ ( 0) kＲ ( 1) … kＲ ( MＲ ) kv］， 则式( 36) 可写为 u( k) = ke e( k) + kxx( k) + ∑ MＲ i = 0 kＲ ( i) r( k + i) + kv ( ∑ k－1 s = 0 e( s) + v( 0) ) ． 因此定理 4 得证． 4 数值仿真 考虑离散时间系统 x( k +1) =［A + ΔA］x( k) +［B + ΔB］u( k) + Dw( k) ， y( k) = Cx( k) ， z( k) = C1 x( k) + Eu( k) + D1w( k { ) ， ( 37) 取 A = 0. 7065 0. 3380 [ ] 0. 5879 0. 9573 ，B = 0. 8520 [ ] 0. 3369 ，D = 0. 22 [ ] 0. 25 ， C =［1 1. 2］，C1 = 0. 7 1 [ ] 0. 2 1 ，E = [ ] 3 2 ，D1 = 0. 2 [ ] 0. 1 ， ΔA = － 0. 01 0 [ ] 0 0. 02 · 0. 1a3 0. 2cos( 0. 3kπ) + a1 0. 3sin( 0. 5kπ) + a2 [ ] － 0. 01 · 0. 1 0 [ ] 0 － 0. 1 ， ΔB = 0. 01 0 [ ] 0 0. 01 · 0. 1sin( 0. 1kπ) + a3 0. 3a1 [ ] － 0. 2a2 0. 4cos( 0. 5kπ) + a4 0 [ ] 0. 1 ． | ai | ≤0. 5 ( i = 1，2，3，4) 为不确定参数． 干扰取为 w( k) = sin( 0. 01πk) k + 0. 5 ，显然 w( k) ∈L2［0，∞ ) ． 与系统( 1) 对比，有 E1 = － 0. 01 0 [ ] 0 0. 02 ， Σ1 = 0. 1a3 0. 2cos( 0. 3kπ) + a1 0. 3sin( 0. 5kπ) + a2 [ ] － 0. 01 ， H1 = 0. 1 0 [ ] 0 － 0. 1 ，E2 = 0. 01 0 [ ] 0 0. 01 ， Σ2 = 0. 1sin( 0. 1kπ) + a3 0. 3a1 [ ] － 0. 2a2 0. 4cos( 0. 5kπ) + a4 ， H2 = 0 [ ] 0. 1 ． 验证知 Σ1 和 Σ2 对任何 k 满足不等式( 3) ． 通过对误差的调整，我们取权重矩阵为 Qe = 5、 Qv = 1. 0和 H = 10． 我们分别对预见步数 MＲ = 2、MＲ = 5 和没有预见三种情况，针对不同的目标值信号进行 仿真． 选 取 γ = 5，应 用 MATLAB 的 LMI 工 具 箱 可 求得: 当预见步数 MＲ = 2 时，求得 ·1383·