根据相对论的速度合成公式(112.12)很容易证实,即使u和部接近光速,其合 成的速度也不会大于光速,也就是说,在相对论中不可能用运动学的办法得到大 于光速的速度。注意到速度的变换公式很复杂,不满足四维矢量的变换公式,这 是因为三维空间速度的定义不是相对论谐变的。让我们重新考察速度的定义 、d.分子是位置矢量,很容易推广到四维协变形式x={F,ict},问题出在 分母上:d不是一个标量,其在不同惯性系中测量值不同!我们知道四维间隔 ds2'=-dx, dx, =(cdr)-drdr=(cdt)(1-iilc2) (112.14) 是一个标量,其在不同惯性系中的测量值不变,因此可以定义一个具有时间量纲 的标量 ds/c=di1-B2 (11.2.15) 用来替代dt.考察dr的物理意义-当我们选取与粒子一起运动的坐标系时有 B2=0,因此得到dr=d。故其物理意义既是在粒子静止的坐标系中测量的两 个时间的时间间隔,因此我们也把dr称作“固有时”- Proper Time。因此对任何 两个事件的时间间隔,在粒子运动的坐标系中测到的值 B2/dr (11.2.16) 比在跟随粒子运动的坐标系中测得的“固有时”增大了yn= 倍一这就是 所谓“时间膨胀”效应。既然“固有时”是个与坐标变换无关的标量,这就启发 我们定义这样一个四维矢量: dr-rilu,ic (112.17) 它显然是在 Lorentz变换下协变的,而且其三维空间部分与三维速度矢量相关 这就是四维速度。 5,四维波矢量 下面我们证明波矢k与频率一起构成四维协变矢量-亦即,k={,0e在坐 标变换下满足与坐标一样的变换关系。为了证明这件事情,考虑在S系下的沿ⅹ 方向传播的一列平面波em)=e。在S系的坐标原点t=0时刻时开始计数,在2 根据相对论的速度合成公式(11.2.12)很容易证实，即使 x u 和v 部接近光速，其合 成的速度也不会大于光速，也就是说，在相对论中不可能用运动学的办法得到大 于光速的速度。注意到速度的变换公式很复杂，不满足四维矢量的变换公式，这 是因为三维空间速度的定义不是相对论谐变的。让我们重新考察速度的定义： dr u dt = r r - 分子是位置矢量，很容易推广到四维协变形式 x {, } r ict μ = r ，问题出在 分母上：dt 不是一个标量，其在不同惯性系中测量值不同！我们知道四维间隔 () () ( ) 2 2 2 2 ds dx dx cdt dr dr cdt u u c 1 / =− = − ⋅ = − ⋅ μ μ r r rr (11.2.14) 是一个标量，其在不同惯性系中的测量值不变，因此可以定义一个具有时间量纲 的标量 2 / 1 u d ds c dt τ = =− β (11.2.15) 用来替代 dt. 考察 dτ 的物理意义 – 当我们选取与粒子一起运动的坐标系时有 2 0 βu = ，因此得到d dt τ = 。故其物理意义既是在粒子静止的坐标系中测量的两 个时间的时间间隔，因此我们也把dτ 称作“固有时”- Proper Time。因此对任何 两个事件的时间间隔，在粒子运动的坐标系中测到的值 2 1 u u d dt d τ γ τ β = = − （11.2.16） 比在跟随粒子运动的坐标系中测得的“固有时”增大了 2 1 1 u u γ β = − 倍 – 这就是 所谓“时间膨胀”效应。既然“固有时”是个与坐标变换无关的标量，这就启发 我们定义这样一个四维矢量： {, } u dx u u ic d μ μ γ τ = = r （11.2.17） 它显然是在 Lorentz 变换下协变的，而且其三维空间部分与三维速度矢量相关。 这就是四维速度。 5．四维波矢量 下面我们证明波矢k r 与频率一起构成四维协变矢量 – 亦即， k ki c {, /} μ = ω r 在坐 标变换下满足与坐标一样的变换关系。为了证明这件事情，考虑在 S 系下的沿 x 方向传播的一列平面波 i kx t i ( ) e e −ω φ = 。在 S 系的坐标原点 t=0 时刻时开始计数，在