3.2对电学的应用 我们可以应用保形映照求静电场。 例4设有两同心金属圆柱与z平面的截线为|二F=及|z|=F(0<斤<F2<+∞)。设两 柱间的电势差为2V,求所产生的静电场。 设圆柱较长,我们只须求一解析函数,使其虚部在|=上上取值-V,在|二F=2上取 值J。我们知道多值解析函数 Φ(z)= iain+ib 的虚部在|=r上的值不变,这里a及b是任何实数,r是任何正数,根据已给条件决定a 及b,即得所求的复势 (-)=,1 In/i-in,[2Lnc-(In: 2+In 例5设两相离平行金属圆柱间的电势差为2V。求所产生的静电场。 设设圆柱较长,它们与平面的截线是两个圆C1及C2,其圆心为a1及a2。设其外公 切线过两圆上b及b2两点。以b及b2为直径的两端作一圆C’,与a1及a2的联线交于1及 2两点(如图6)。由于a1及a2的联线以及C都与圆C1及C2直角,1及2关于圆C1及圆 C2都是对称点 作分式线性函数w 它把圆C1及C2映照成平面上的两圆C1及C2,把及 2映照成两点w=0及w=∞;由于这两点关于C1及C2都是对称点,可见C及C2是以 =0为心的两同心圆。最后应用例74中的结果,就可得到所求的复势。 例6设有两金属平板与〓平面垂直,且与这平面的截线如图7(a)。设两截线的端点之 间的距离为2a(a>0),电势差为2V。求所产生的静电场。 由于构成电容器的金属板较大,可设所得截线为射线x≥a,y=0及x≤-a,y=0 现求平面静电场的复势,即求在上两射线割开的平面内解析、且其虚部在左、右两射线的上 沿及下沿分别为-及的函数W=F(=)。因此w=F()把割开的平面双方单值保形映3．2 对电学的应用 我们可以应用保形映照求静电场。 例 4 设有两同心金属圆柱与 z 平面的截线为 1 | | z r = 及 2 12 | | (0 ) zr rr = < < < +∞ 。设两 柱间的电势差为 ，求所产生的静电场。 0 2V 设圆柱较长，我们只须求一解析函数，使其虚部在 1 | | z r = 上取值 −V0 ，在 上取 值 。我们知道多值解析函数 2 | | z r = V0 Φ= + (z) ia z ib Ln 的虚部在 上的值不变，这里 及 是任何实数， 是任何正数，根据已给条件决定 及b ，即得所求的复势 | | z r = a b r a ( ) [ ] 0 2 1 2 1 2Ln (ln ln ) ln ln iV z z r r r Φ = − + − r 。 例 5 设两相离平行金属圆柱间的电势差为 。求所产生的静电场。 0 2V 设设圆柱较长，它们与 平面的截线是两个圆 及 ，其圆心为 及 。设其外公 切线过两圆上 及 两点。以 及 为直径的两端作一圆 ，与 及 的联线交于 及 两点(如图 6)。由于 及 的联线以及 都与圆 及 直角， 及 关于圆 及圆 都是对称点。 z C1 C2 1 a 2 a 1 b 2 b 1 b 2 b * C 1 a 2 a 1z 2 z 1 a 2 a * C C1 C2 1z 2 z C1 C2 作分式线性函数 1 2 z z w z z − = − ，它把圆 及 映照成 平面上的两圆 及 ，把 及 映照成两点 及 ；由于这两点关于 C1 C2 w C1 ′ C2 ′ 1z 2 z w = 0 w = ∞ C1 ′及C2 ′ 都是对称点，可见 及 是以 为心的两同心圆。最后应用例 中的结果，就可得到所求的复势。 C1 ′ C2 ′ w = 0 7.4 例 6 设有两金属平板与 平面垂直，且与这平面的截线如图 7(a)。设两截线的端点之 间的距离为 ，电势差为 。求所产生的静电场。 z 2 ( 0) a a > 0 2V 由于构成电容器的金属板较大，可设所得截线为射线 x ay ≥ = , 0 及 x ≤ −a , 0 y = 。 现求平面静电场的复势，即求在上两射线割开的平面内解析、且其虚部在左、右两射线的上 沿及下沿分别为 −V0 及V0 的函数 w Fz = ( ) 。因此 w Fz = ( ) 把割开的平面双方单值保形映 9