例如1891年意大利数学家皮亚诺(G.Peano,1858-1932)提出了用公理来 定义自然数，成为数的概念的理论基础。 (i)“1”是自然数： ()“1”不是任何自然数的后继数： (i)每个自然数a,都只有一个后继数a: (iv)如果a=b,那么a'=b': (v)任意一个自然数的集合，如果含有1，并且假定：含有n,也一定含有 n的后继数n',那么这个集合含有所有的自然数（归纳公理）。 这些公理中用到不定义概念“直接后继”，简称“后继”，用表示：还有“1”， “集合”，“自然数”，“含有”等概念为前提。 关于自然数集扩充： 从公理集合论观点，用集合“无究公理”作为基础，自然数可如下归纳定义： (参见：张锦文《集合论浅说》，1984，科学出版社) 0=p(空集是0) 1={}(0的后继) 2={中、{》(1的后继》 3={p、{}、{中、{)}(2的后继) . 一般地，若自然数n己经定义，则n的后继n+1定义为： n+1={0,l,2,3,.,n}=nUn} 所有自然数的集合称为自然数集，记为N=01,23,}。按此定义，自然数0,1， 2,.,.都是集合，而且前面的集合总是后面集合的元素： 0ele2e3e.en∈n+le. 因此，用属于关系“∈”来定义自然数的序“<”，是很方便的。这样，自然 数的理论就完全建立在集合论基础之上，能够用集合论语言来统一表述。 值得指出的是：皮亚诺公理化定义的自然数与集合论定义的自然数是等价 的。建立如下一一对序 15 例如 1891 年意大利数学家皮亚诺（G.Peano,1858-1932）提出了用公理来 定义自然数，成为数的概念的理论基础。 （i）“1”是自然数； （ii）“1”不是任何自然数的后继数； （iii）每个自然数 a，都只有一个后继数 a’； （iv）如果 a=b，那么 a’=b’； （v）任意一个自然数的集合，如果含有 1，并且假定：含有 n，也一定含有 n 的后继数 n’，那么这个集合含有所有的自然数（归纳公理）。 这些公理中用到不定义概念“直接后继”，简称“后继”，用 ’表示；还有“1”， “集合”，“自然数”，“含有”等概念为前提。 关于自然数集扩充： 从公理集合论观点，用集合“无究公理”作为基础，自然数可如下归纳定义： （参见：张锦文《集合论浅说》，1984，科学出版社） 0=  （空集是 0） 1={  }（0 的后继） 2={  、{  }}（1 的后继） 3={  、{  }、{  、{  }}}（2 的后继） . 一般地，若自然数 n 已经定义，则 n 的后继 n+1 定义为： n +1= 0,1,2,3,  ,n= nn, 所有自然数的集合称为自然数集，记为 N = 0,1,2,3,  。按此定义，自然数 0，1， 2，.，n.都是集合，而且前面的集合总是后面集合的元素： 0123nn +1 因此，用属于关系“  ”来定义自然数的序“<”，是很方便的。这样，自然 数的理论就完全建立在集合论基础之上，能够用集合论语言来统一表述。 值得指出的是：皮亚诺公理化定义的自然数与集合论定义的自然数是等价 的。建立如下一一对序 f：