Vol.20 No.6 卜样民等：基于Bayes分析的小批量生产质量控制与诊断 ·599· 1.1 参数σ的小样本优良估计， Bayes分析需要首先确定参数的先验分布和估计的损失函数，为保证所选的先验分布既 便于数学处理又能真实地反映参数的波动情况，假设先验分布为逆T分布，lod2~T(a,b),根 据历史数据应用工程估计法来估计a,b. 设有历史生产过程的m批样本：x1“Xm…,Xm“,xm (1) 式中：x~N,(u,0,j=1,,ni=1,,m(m>10,n>20). 记s“2(6,-小3，从=点s54-25可得a6的估值4=1=z”G M, M b= M-M有了a,6便得到了先验分布.下面给出损失函数， 在已取得当前生产的一组样本x=(飞，“，x)后，记()为的估计，取二次函数 (6(x9,)=h·(6()-o)2为参数真值是o2、估计值是6()时的损失.现在给出o2的Bayes估 计. 设已获得样本x,…,x,由于S是o的充分统计量，故可直接从S出发考虑问题.由于二 次损失下参数的后验均值即是其Bayes估计.所以o2的Bayes估计为： =G1=,9+2b 2a+(n-3) 1.2均值u的小样本优良估计 现在解决正态分布的另一参数一均值μ的检验与估计问题，其思路和方法与σ的检验 与估计相同.这里的基本前提是：已获得了当前生产过程方差的估计（从文献[2]已知：只要 先验分布真实地反映σ的变化，而且方差不大，则σ是十分优良的估计).这里在方差已知情 况下讨论均值问题， 设有某产品的5批历史样本： ,X’,无，x (2) x,~Mu,)(G已知，它根据先验分布及标准变换后的x,,xn用Byes估计法求出；j=1, …,r,i=1,…,x~N4,)(2已知，k=1,…,)为当前生产过程的1组样本，41…，44 独立同分布于某一先验分布，方差已知时，可取μ的先验分布为NMc,).其中c,d如下确定： 假如前面已有较多批的生产，每批有较多的样本如（式2） 令2：K-2k=,亡产-K八则K,k德是6d之矩估计. 下面给出参数估计的损失函数并求出u的Bayes估计. 在已取得当前生产的1组样本x=(:,…,x)后，记6《)为的估计，取二次函数6'(， w)=,d8'(x)-)为参数真值是u、估计值是6'(x)时的损失.于是得μ的Bayes估计为： 4B=Euy)=rd+co/rd+o,其中y=x. l.3基于Bayes分析的小批量休哈特控制图 在参数已知的情况下，常规休图优于Q控制图及Hillier等人建立的小批量x-R控制图 等，而常规休图应用于小批量生产过程的难点是，因为样本少，不能得到较理想的常规参数估V o l . 2 0 N O . 6 卜祥 民等 :基 于 B ay se 分析的小批量生产质量 控制与诊 断 1 . 1 参数 a Z的 小样本优良估计 ’ 31 B ay se 分析 需 要 首先 确定 参数 的先验分 布 和估 计的损 失 函 数 . 为保证所选 的先 验 分布 既 便 于数 学处理 又 能 真 实地 反 映 参数 的波 动情 况 , 假 设先验 分 布 为逆 r 分 布 , 1勺, 一 (r a , b) , 根 据历 史数据应用 工程 估计法来 估计 a , b . 设 有 历史 生产过 程 的 m 批样 本 : xl , ” ,xl 扩’, 气 ,1 ” 蠕 . (l ) 式 中 : x 。一 N, 恤 , a , , ) , j = l , 一 n ` ; i 一 l , 一 m (m > 1 0 , n , > 2 0 ) · 1 上 l _ 、 1 . 理 , I J 七 几f 自 记 S 子= 一二二一 ) (工 一 二 } 2 , 从 = 去》 S 子 , 从 = 今) S 乎 , 可 得 a , b 的估值4 = 1 = = , 斗下 , 。 一 1昌 “ , ’ ` ’ m昌 “ m昌 ” 一 城 一 鲜 从从 从 一 M : . 有 了 d , 石 , 便得到 了先验 分布 . 下面 给出损失 函数 . 在 已 取 得 当 前 生 产 的 一 组 样 本 x = (xl , … , 、 ) 后 , 记 (x) 为 a ’ 的 估 计 , 取 二 次 函 数 双叔x) , 犷) = h · (6 (x) 一 扩) ’ 为参数真值是 少 、 估 计值是 创x) 时的损失 . 现 在给 出了的 B ay es 估 计 . 设 已获 得样 本 xl , … , x 。 , 由于 S 是 a ’ 的充分 统计量 , 故 可直 接从 S 出发 考虑 问题 . 由于 二 次损失 下参数的后 验均值即是其 B ay es 估计 . 所 以 a ’ 的 B ay es 估计为 : 心 二 (E a ’ }习 = s + Zb Z a + ( n 一 3 ) 1 . 2 均询 理的小样本优良估计 现 在解 决正态 分布 的另 一参数— 均 值召的检验 与 估计 问题 , 其 思 路 和方 法 与a ’ 的检 验 与估计相 同 . 这里 的基本前 提是 : 已获 得 了 当前 生产 过程方 差 的估计 嵘(从文 献 【2] 已 知 : 只要 先 验分 布真 实地 反 映扩的变化 , 而且 方 差不 大 , 则嵘是 十分优 良的 估计 ) . 这 里 在方 差 已 知 情 况下 讨论均值间题 . 设有某 产品的 s 批历 史样本 : xl l , ” ” xl r , ` ’ ` , xs L, ” ’ , xs .r 养 ,一 雌 ` , 峭 (讨已 知 , 它根 据先验分 布及标 准变换 后 的 气, , … , 气 . 用 B ay es 估计法 求出 ; j = ( 2 ) 1 , 一 ir, i = l, 一 ;s) 瓜一 雌 , 少) ( 少已 知 , k = 1 , … , )r 为 当前生产过程 的 1 组样本 , 产 1 , … , 热 , 拜 独立 同分 布于某一 先验分 布 . 方差 已 知时 , 可取产的先 验分 布为 N( 。 , 力 . 其中 。 , d 如 下确 定 : 假 如前面 已有 较多批 的生产 , 每 批有 较多的样 本 如 ( 式 2) . 令、 一 洛 ; 长 一 睿 、 一 游 (又 一 、 , 则凡 , 尤 , 一 “ 之 矩估计 · 下 面给 出参数估计的损失 函数并求出产的 Bay se 估计 . 在 已 取得 当前 生产 的 1组样 本 x = xl( , … , 劝 后 , 记 占,( x) 为群的估计 , 取 二次函 数 双6 ` ( x) , u) = . d( 占 ` (x) 一 川 ’ 为参数真值是拜 、 估 计值是 占 ’ (x) 时的损失 . 于是 得产的 B ay e s 估计为 : 产。 二 即叻 = r dy + c 扩 / dr + 少 , 其 中 y 二 又 1 . 3 基于 B ay es 分析 的小 批 . 休哈特控 制 图 在 参数已 知 的情 况下 , 常规休 图优于 Q 控制 图及 环川e : 等人 建 立 的小批 量又一 R 控制 图 等 . 而常规休 图应用 于小批量生 产过程 的难 点是 , 因为样 本少 , 不 能得 到较 理想 的常规参数估