基于Bayes分析小批量生产量控制与诊断

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1998.06.021 第20卷第6期 北京科技大学学报 Vol.20 No.6 1998年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.1998 基于Bayes分析小批量生产质量控制与诊断 卜祥民孙静张公绪 北京科技大学管理学院，北京100083 搞要应用Bays分析方法，充分利用历史信息，得出优化的参数估计，从而得出小批量控制图与 选控图，并实现了小批量情形的两种质量诊断理论，通过实例表明该理论估计符合实际， 关键词Bayes估计；常规估计；小批量休哈特控制图；小批量选控图 分类号0213.1 小批量生产的特点是批量小、样本少.根据统计理论，小样本估计不可靠，所以不能按常 规方法建立控制图.FS.Hillier及C.P.Quesenberry等人L.2i从构造其分布不含参数的统计 量人手来建立控制图，但可以证明，这样建立的小批量控制图对生产过程中出现异常的检出 能力远低于参数已知时常规控制图的检出能力.至今，还没有小批量生产的质量诊断理论， 本文以Bayes分析为理论依据，充分利用历史批产品的质量信息和当前生产的小样本， 给出当前产品质量指标的分布参数及回归系数的优良估计，从而得到小批量休图（它优于F S.Hillier等人的小批量休图)和小批量选控图，实现重复性小批量生产的质量控制和诊断. 1基于Bayes分析的小批量质量控制 如果过去产品的质量符合要求，一个自然的想法是尽量维持当前产品质量与以往一致， 因此要求尽可能维持人、机、料、法、环等各要素与历史上的相同.然而，由于种种原因，细微的 差别总是存在的，因此一般来说，不同批质量指标总体N(u,σ)的参数会有些差别，但差别不 大，可以视参数4，心分别服从某一先验分布F),G(d).由于所作估计是统计推断，已包含出 现偏差的可能，出现偏差就会产生损失，现实问题的这2个特点正符合Byes分析的要 求.Bayes分析假设指标的分布参数包含先验分布，利用这一先验分布和当前样本对参数作 统计推断.在先验分布选择合理且其方差较小的条件下，小样本Bayes估计能很好地改进常 规估计.因此可充分利用过去生产的样本和现在生产的较小样本，给出当前产品质量指标参 数的Byes估计.由于重复性生产的特点，各批指标的差别不大，因而先验分布方差很小.另 外，这里应用工程估计法去寻找先验分布，使所作的假设客观合理，由此得到的Bays估计应 是比较理想的， Byes分析只对单参数指数族有比较良好的结果，而这里的分布有2个参数(u和g2),为 能应用Bayes分析理论，我们的作法是先求c的Bayes估计，然后在a已知的条件下利用原样 本再求u的Bayes估计， 199712-25收稿卜样民男，30岁，副牧授，博士 ·国家自然科学基金资助课题

第20卷 第6期 1 9 8年 1 2 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u r n a l o f U n i v e r s i ty o f cS i e n e e a n d T e e h n o l o g y B e i j i n g V 0 1 . 2 0 N 0 . 6 】k e . 1 9 9 8 基于 B a y es 分析小批量生产质量控制与诊断 卜祥 民 孙 静 张公绪 北京科技大学管理学 院 . 北京 10 0 0 8 3 摘要 应用 B ay es 分析方法 , 充分利用历史信息 , 得 出优化的参数估计 , 从而得 出小批量控制 图与 选控 图 , 并实现了小批量情形 的两种质量诊断理论 . 通过实例表 明该理论估计符合实际 . 关扭词 B ay es 估计 ; 常规估计 ; 小批量休哈特控制 图; 小批量选控图 分类号 0 2 1 3 . 1 小 批 量 生 产的特 点 是批 量小 、 样 本少 . 根据 统计理 论 , 小样 本估计 不 可靠 , 所 以 不 能 按 常 规方 法 建立 控 制 图 . E 5 . 托 ht er 及 c . P . uQ e s en be 叮 等人 l, ’ l从构造 其分布 不 含参数 的统 计 量人 手 来建立 控 制 图 , 但可 以证明 , 这样建 立的小 批量控 制 图对生产 过程 中出现异 常 的检 出 能力 远 低于 参数 已 知 时常规控 制 图的检 出能 力 . 至今 , 还没有 小批 量生 产 的质量 诊断 理论 . 本 文 以 B ay es 分析为 理论依 据 , 充分利用历 史批 产品的质 量 信息 和 当前 生 产 的小样 本 , 给 出 当前 产品质量 指 标的分布 参数及 回归系数的优 良估计 , 从而 得到 小批 量休 图 (它 优于 E 5 . 托 lh er 等 人 的小批量休 图 ) 和小 批量 选控 图 , 实现重复 性小 批量生 产 的质量 控制 和诊 断 . 1 基于 B a ye s 分析的小批最质量控制 如果 过 去 产 品 的质 量符合要 求 , 一 个 自然 的想 法是尽 量 维持 当前产 品质量 与 以 往一致 . 因此要 求尽可 能维持 人 、 机 、 料 、 法 、 环等各要 素与历史 上的相 同 . 然而 , 由于种 种 原因 , 细微 的 差别总是 存在 的 , 因此 一 般来说 , 不 同批质量指标总体 峋 沼 , 犷)的参数会有些 差别 , 但差别不 大 , 可 以 视 参数拜 , 了分别服 从某 一 先验分 布 你) , (G 了) . 由于所 作估 计是 统计推 断 , 已 包含 出 现 偏 差 的 可 能 , 出 现 偏 差 就 会 产生 损 失 . 现 实 问题 的 这 2 个 特 点正 符 合 B ay es 分 析 的 要 求 . B ay es 分 析 假设指标 的分布 参数 包含 先 验分 布 , 利 用 这一 先验 分 布和 当前样 本 对参数作 统 计推 断 . 在 先验 分 布选择合理 且 其方 差较 小 的条件下 , 小 样 本 B ay es 估计能很好地 改 进 常 规估计 . 因 此可 充 分利 用 过 去生 产的样本 和现在 生 产的较 小样 本 , 给 出 当前 产 品质 量 指标参 数的 B ay es 估计 . 由于 重复性 生 产的特 点 , 各批 指标 的差别不大 , 因而先 验分布 方差很 小 . 另 外 , 这 里应用工 程估计法去 寻找先 验分 布 , 使所作 的假 设客观合理 , 由此得到 的 B ay es 估计应 是 比较理想 的 . B ay es 分析只对单参数指数族有 比较 良好 的结果 , 而这 里 的分布有 2 个参数 恤和 扩) , 为 能 应用 B ay es 分 析理 论 , 我 们的作法是 先求少的 B ay es 估计 , 然 后在扩已 知的条 件下利 用原样 本再求拜的 B ay es 估计 . 19 9 7 . 12 . 2 5 收稿 卜祥 民 男 , 30 岁 , 副教授 , 博士 * 国 家 自然科学基金资助课题 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1998. 06. 021

Vol.20 No.6 卜样民等：基于Bayes分析的小批量生产质量控制与诊断 ·599· 1.1 参数σ的小样本优良估计， Bayes分析需要首先确定参数的先验分布和估计的损失函数，为保证所选的先验分布既 便于数学处理又能真实地反映参数的波动情况，假设先验分布为逆T分布，lod2~T(a,b),根 据历史数据应用工程估计法来估计a,b. 设有历史生产过程的m批样本：x1“Xm…,Xm“,xm (1) 式中：x~N,(u,0,j=1,,ni=1,,m(m>10,n>20). 记s“2(6,-小3，从=点s54-25可得a6的估值4=1=z”G M, M b= M-M有了a,6便得到了先验分布.下面给出损失函数， 在已取得当前生产的一组样本x=(飞，“，x)后，记()为的估计，取二次函数 (6(x9,)=h·(6()-o)2为参数真值是o2、估计值是6()时的损失.现在给出o2的Bayes估 计. 设已获得样本x,…,x,由于S是o的充分统计量，故可直接从S出发考虑问题.由于二 次损失下参数的后验均值即是其Bayes估计.所以o2的Bayes估计为： =G1=,9+2b 2a+(n-3) 1.2均值u的小样本优良估计 现在解决正态分布的另一参数一均值μ的检验与估计问题，其思路和方法与σ的检验 与估计相同.这里的基本前提是：已获得了当前生产过程方差的估计（从文献[2]已知：只要 先验分布真实地反映σ的变化，而且方差不大，则σ是十分优良的估计).这里在方差已知情 况下讨论均值问题， 设有某产品的5批历史样本： ,X’,无，x (2) x,~Mu,)(G已知，它根据先验分布及标准变换后的x,,xn用Byes估计法求出；j=1, …,r,i=1,…,x~N4,)(2已知，k=1,…,)为当前生产过程的1组样本，41…，44 独立同分布于某一先验分布，方差已知时，可取μ的先验分布为NMc,).其中c,d如下确定： 假如前面已有较多批的生产，每批有较多的样本如（式2） 令2：K-2k=,亡产-K八则K,k德是6d之矩估计. 下面给出参数估计的损失函数并求出u的Bayes估计. 在已取得当前生产的1组样本x=(:,…,x)后，记6《)为的估计，取二次函数6'(， w)=,d8'(x)-)为参数真值是u、估计值是6'(x)时的损失.于是得μ的Bayes估计为： 4B=Euy)=rd+co/rd+o,其中y=x. l.3基于Bayes分析的小批量休哈特控制图 在参数已知的情况下，常规休图优于Q控制图及Hillier等人建立的小批量x-R控制图 等，而常规休图应用于小批量生产过程的难点是，因为样本少，不能得到较理想的常规参数估

V o l . 2 0 N O . 6 卜祥 民等 :基 于 B ay se 分析的小批量生产质量 控制与诊 断 1 . 1 参数 a Z的 小样本优良估计 ’ 31 B ay se 分析 需 要 首先 确定 参数 的先验分 布 和估 计的损 失 函 数 . 为保证所选 的先 验 分布 既 便 于数 学处理 又 能 真 实地 反 映 参数 的波 动情 况 , 假 设先验 分 布 为逆 r 分 布 , 1勺, 一 (r a , b) , 根 据历 史数据应用 工程 估计法来 估计 a , b . 设 有 历史 生产过 程 的 m 批样 本 : xl , ” ,xl 扩’, 气 ,1 ” 蠕 . (l ) 式 中 : x 。一 N, 恤 , a , , ) , j = l , 一 n ` ; i 一 l , 一 m (m > 1 0 , n , > 2 0 ) · 1 上 l _ 、 1 . 理 , I J 七 几f 自 记 S 子= 一二二一 ) (工 一 二 } 2 , 从 = 去》 S 子 , 从 = 今) S 乎 , 可 得 a , b 的估值4 = 1 = = , 斗下 , 。 一 1昌 “ , ’ ` ’ m昌 “ m昌 ” 一 城 一 鲜 从从 从 一 M : . 有 了 d , 石 , 便得到 了先验 分布 . 下面 给出损失 函数 . 在 已 取 得 当 前 生 产 的 一 组 样 本 x = (xl , … , 、 ) 后 , 记 (x) 为 a ’ 的 估 计 , 取 二 次 函 数 双叔x) , 犷) = h · (6 (x) 一 扩) ’ 为参数真值是 少 、 估 计值是 创x) 时的损失 . 现 在给 出了的 B ay es 估 计 . 设 已获 得样 本 xl , … , x 。 , 由于 S 是 a ’ 的充分 统计量 , 故 可直 接从 S 出发 考虑 问题 . 由于 二 次损失 下参数的后 验均值即是其 B ay es 估计 . 所 以 a ’ 的 B ay es 估计为 : 心 二 (E a ’ }习 = s + Zb Z a + ( n 一 3 ) 1 . 2 均询 理的小样本优良估计 现 在解 决正态 分布 的另 一参数— 均 值召的检验 与 估计 问题 , 其 思 路 和方 法 与a ’ 的检 验 与估计相 同 . 这里 的基本前 提是 : 已获 得 了 当前 生产 过程方 差 的估计 嵘(从文 献 【2] 已 知 : 只要 先 验分 布真 实地 反 映扩的变化 , 而且 方 差不 大 , 则嵘是 十分优 良的 估计 ) . 这 里 在方 差 已 知 情 况下 讨论均值间题 . 设有某 产品的 s 批历 史样本 : xl l , ” ” xl r , ` ’ ` , xs L, ” ’ , xs .r 养 ,一 雌 ` , 峭 (讨已 知 , 它根 据先验分 布及标 准变换 后 的 气, , … , 气 . 用 B ay es 估计法 求出 ; j = ( 2 ) 1 , 一 ir, i = l, 一 ;s) 瓜一 雌 , 少) ( 少已 知 , k = 1 , … , )r 为 当前生产过程 的 1 组样本 , 产 1 , … , 热 , 拜 独立 同分 布于某一 先验分 布 . 方差 已 知时 , 可取产的先 验分 布为 N( 。 , 力 . 其中 。 , d 如 下确 定 : 假 如前面 已有 较多批 的生产 , 每 批有 较多的样 本 如 ( 式 2) . 令、 一 洛 ; 长 一 睿 、 一 游 (又 一 、 , 则凡 , 尤 , 一 “ 之 矩估计 · 下 面给 出参数估计的损失 函数并求出产的 Bay se 估计 . 在 已 取得 当前 生产 的 1组样 本 x = xl( , … , 劝 后 , 记 占,( x) 为群的估计 , 取 二次函 数 双6 ` ( x) , u) = . d( 占 ` (x) 一 川 ’ 为参数真值是拜 、 估 计值是 占 ’ (x) 时的损失 . 于是 得产的 B ay e s 估计为 : 产。 二 即叻 = r dy + c 扩 / dr + 少 , 其 中 y 二 又 1 . 3 基于 B ay es 分析 的小 批 . 休哈特控 制 图 在 参数已 知 的情 况下 , 常规休 图优于 Q 控制 图及 环川e : 等人 建 立 的小批 量又一 R 控制 图 等 . 而常规休 图应用 于小批量生 产过程 的难 点是 , 因为样 本少 , 不 能得 到较 理想 的常规参数估

·600· 北京科技大学学报 1998年第6期 计.现在，4和a2的优良估计4和o就解决了这个困难.下面以4和o为已知参数，按常规方 式做控制图： UCL =ua 308i CL=MBi LCL MB 308 2基于Bayes分析的小批量质量诊断 质量诊断是通过总质量与分质量来实现的.张公绪教授于1982年提出将本工序总质量 分解为上工序影响（简称上影）和本工序分质量).根据这三者就能诊断出异因何在，总质量 可用休图描述，分质量可用选控图描述.在选控图中要用到回归方程.回归方程的系数及分质 量的参数都需要估计，在大样本时用常规估计法即可，小样本时常规估计缺乏稳定性，我们仍 然应用Bayes分析方法对其改进. 2.1回归方程系数的Bayes估计 (1)回归方程的选择. 设X为上工序指标，Y为下工序指标，则在生产过程正常情况下，Y与X是有统计相关规 律的，这种规律性可表示为Y=f()+ε.其中，f()为x的解析函数(f()=4()+C,其中 C为本工序分质量均值)，e~N(0,0(未知)f()反映上工序影响（简称上影），e反映本工 序偶然因素的影响.根据问题的特点，我们可取∫()为线性函数、二次函数、指数函数、对数函 数、倒数函数等.一般先用样本(x,y)=1,…,)描点，作散布图，从中看出YX的关系和哪 种函数接近，就选哪种函数.∫()称为Y对X的回归函数.无论哪一种函数经过一定变换都可 以转化为线性函数，进而用线性回归理论求得f()的估计，另外根据连续函数的多项式通近 定理，可以将∫()取为多项式函数，而且通过方程及其系数的显著性可以确定方程的阶及保 留的项.假设回归方程如下： y=b。+bx+bX+…+bX+e, 其中，bi=0,1,…,p)待估. 设（飞y),(:y,)…,(化y)为来自上工序、本工序的一组样本，记 Y=0y2…y)'b=(bo…,b,)' (3) X x X= (4) X 根据回归分析的有关理论，b的最小二乘估计为b=(X?)?Y.作为Y对X的回归，立= 6。+b,X+…+6,X即包含上工序对本工序总质量的全部影响，又含有本工序系统固有影响 (加工质量的均值)，而Y=Y一Y则反映了本工序质量的波动情况.从另一角度看，总质量 指标Y的均值是上工序质量X(非控因素)的函数，Y-Y)便是只与当前工序分质量（欲控 因素)有关的随机变量，Y是Y-(Y)的一个统计估计，自然反映了分质量的波动. (2)利用历史信息改进回归系数 文献[3]指出当样本量不足时，b的最小二乘估计方是不稳定估计.因而，对小批量生产

. 0 0 6 · 8 99 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 1 6 计 . 现 在 , 拜 和a ’ 的优 良估计 拜B和嵘就 解决 了这个 困难 · 下 面 以 拜B和嵘为 已 知参数 , 按 常规方 式 做控 制 图 : U C L = 拜a + 3 a 。 ; C L = 群B ; L C L = 拜a 一 3 a 。 · 2 基于 B ay es 分析的小批 量质量诊断 质量 诊 断是通 过总 质量 与分 质量 来 实 现 的 . 张公 绪 教授 于 19 82 年提 出将本 工序 总质 量 分 解 为 上工 序影 响 (简称 上影 ) 和 本 工序分 质量 13] . 根据 这 三 者就 能 诊 断 出异 因何 在 . 总质 量 可 用休 图描述 , 分 质量可 用选控 图描 述 . 在 选控 图 中要 用到 回 归方程 . 回 归方程 的系 数及 分质 量 的参数都需妥 估计 , 在 大样本时用 常规估 计法 即可 , 小样 本 时常规估计 缺 乏稳定 性 , 我们仍 然 应用 B ay es 分析方 法对其改 进 . 2 . 1 回归方程 系数 的 B ay es 估计 ( l) 回 归方程 的选 择 . 设 X 为上 工序指 标 , Y 为下工 序指 标 , 则 在生 产过 程正 常情 况 下 , Y 与 X 是有 统 计相 关规 律 的 , 这种 规律 性可 表示 为 Y = f (幻 + 。 . 其中 , f (x) 为 x 的 解析函数 了(刀 = 风幻 + C , 其中 c 为本工 序分质量 均值 ) , ￡ 一 N (0 , 扩X 少未 知 ) .f (幻 反 映上 工序 影 响 (简 称上 影 ) , 。 反映 本工 序偶 然 因素 的影响 . 根据 问题的特点 , 我们可 取 f ( x) 为线性 函数 、 二 次 函数 、 指数函数 、 对数函 数 、 倒 数函数等 一般先 用样本 认 , y之i( 一 l, 一 )n 描点 , 作 散布 图 , 从中看 出 K X 的 关系和 哪 种 函数接近 , 就 选哪 种 函数 . f x() 称为 Y 对 X 的 回归 函数 . 无论哪一 种 函 数经 过一 定变 换都可 以 转 化 为线 性 函数 , 进而 用线 性 回归理 论求得 f (x) 的估计 . 另外 根 据连 续 函数的多 项式 逼 近 定 理 , 可 以 将 f (刀 取 为多项 式 函数 , 而 且通 过方程 及其系数的显 著性 可 以 确定 方程 的 阶及保 留的 项 . 假设回 归 方程 如下 : 夕 = b 。 + b . x + b Z尹 + … + 气犷 + 。 , 其 中 , 红i( = 0, ,1 一 )P 待 估 · 设 x(l , yl ) , (兮 凡) , … , (戈 , yn ) 为来 自上 工序 、 本 工序 的一 组样本 , 记 Y = 伽 1 , 夕2 , ’ 一 夕 。 ) , , b = ( b 。 , ’ · ’ , 坏) , ( 3 ) 、 ! z p-p ó月,P XX X 二 x - x z ( 4 ) 根 据 回 归分 析 的有 关 理 论 , b 的 最 小 二乘 估 计为 乙= (尸刀 一 ’ ’x .Y 作为 Y对 x 的 回 归 , 夕= ` 。 + 石 , x + … + 氏尸 即包含 上工序对本 工序总质量 的全部 影响 , 又 含有本1 序系统 固有 影 响 咖 工质 量 的均 值 ) , 而 荞 、 一 Y 一 夕则 反 映 了本 工序 质量 的 波 动情况 . 从另一 角度看 , 总 质量 指 标 Y 的 均值是 上工 序 质量 X (非控 因素) 的 函数 , Y 一 (E )r 便是 只 与 当前工 序分质量 (欲控 因素 )有 关的 随机 变量 , Y cs 是 y 一 (E 均 的一 个统计估计 , 自然 反 映了分质 量的波 动 · ( 2) 利 用历 史信 息改进 回 归系数 . 文献 3[ ]指 出 当样 本量 不足 时 , b ,的最 小二乘 估计 石 ,是不 稳定 估计 . 因而 , 对小批 量生 产

Vol.20 No.6 卜祥民等：基于Bayes分析的小批量生产质量控制与诊断 ·601· 可利用历史信息来改善b,从而得到小样本的稳定回归方程，为建立小批量选控图作准备，回 归系数b因不同批次可能略有不同，然而Y与X的关系本质上取决于两工序的物理关系及加 工要求，因此不同批的b不会相差很大，而且具有统计规律，我们希望利用历史信息给出 b(i=l,…,p)的先验分布，再根据Bayes原理，给出改进估计即b,的Bayes估计.假定b~ N心，w),其中vω，待估.根据过去的生产记录，有若干组（设有k组）历史数据： (化y(=1,…,kj=1,…,) (5) 可以求得k个回归方程6，=(X)XX(下标1代表第1组样本，t=1,…,k),对b,有k个估 值，简记为b,…,b4于是有对，ω的估计，=(1/)∑b©，=1/(k-1)∑（仍，-，）.为讨 论方便，仍记i,à，为v,心.于是根据历史资料可确定了b,的先验分布(u,w,)(i=1,…,P). 现在来求b,的Bayes估计.根据前面的讨论，b为由当前样本得到的b,的最小二乘估计， 为避免混淆，记6为z.可以求得已知z条件下b,的后验分布为NM(z@,+c0v)/(@,+c,0), (cω，)/（ω，+c,p]故b,的Bayes估计为： b,=(20,+c0v)1(@,+c0) (i=1,…,p) (6) 它是b,的小样本优良估计. 2.2选控指标Ysa分布参数的确定 记，=6x它是在回归系数方(i=1,…,p)下对上工序影响所作的估计.由于是b。 =0 是b,的有偏估计，ysBy一的均值不再是0.下面来讨论选控统计量ycs的均值4cs与方 差之o估计问题. 对于来自当前生产过程的1组样本(：，y)(=1,…,),y=一(i=1,…,n)是ycsB 的一组样本.据此可得rc和c6的常规估计：少c=（I/川c,S=11《n-)∑cs ys)?.由于样本较少，该估计同样缺乏稳定性.这里仍借助历史信息用Bayes估计来改进它 们.根据前面对4，o2的讨论，可以设4B~Nr,d),1/oT~(0p),其中，d,6,p为超参数. 利用前面得到的历史数据（式I),根据公式（式2）对每批生产都能得到基于Bayes估计的 回归方程，其中上标t代表第t批生产.从而可得第t批生产的本工序分质量指标： y9=y9-增(=1，…，周 (7) 将各组样本代人公式(T),得各批生产的本工序分质量样本：y80=1,…,n,1=1,“,内. 记8=(m例，288=1-)20唱-8M=(11内三8M=(1内2S0 K=(1/内限K=11k-)8。-K. 同前述方法能由历史样本Oy8)得到元=K,6=K,日=1+M(M-M)p=MM/ (M-M约，这样，我们得到了随机变量y的均值方差的先验分布，根据当前生产过程的样 本(x,y)(i=l,…,q)和历史样本（式5），能得到当前过程基于Byes分析的回归方程，进而 得到选控指标的样本'cs(=1,…,q).根据1.1和1.2的结论，可得4cs和os的Bays估计： (9-1)S号+2p 话B=Eo&BlS)= qoy+iocs 29+-3引，。-Bu月=95+n

V o l . 2 0 N o . 6 卜祥 民等 : 基于 B ay es 分析 的小批量生产质量控制 与诊 断 可利 用历 史 信 息来改善石 , , 从而 得到小 样本 的稳 定 回归方程 , 为建 立小 批量 选控 图作 准备 . 回 归系 数 b 因不 同批 次可能 略有不 同 , 然而 Y 与 X 的关系 本质 上取决 于 两工序 的物 理 关系及 加 工 要 求 , 因此 不 同批 的 b 不 会 相 差 很 大 , 而 且 具有 统计 规 律 . 我 们希望 利 用 历 史 信 息 给 出 叮i = l, 一 )P 的 先 验分布 , 再 根 据 B ay es 原 理 , 给 出改 进估 计 即 b , 的 B ay es 估 计 . 假定 b ,一 vN( ` , 。 尸 , , 其中 。 ` , 。 : 待 估 . 根 据过 去的生产记 录 , 有若干组 (设有 k 组 ) 历 史数 据 : (乓 , 夕。 ) ( t = l , ” ’ , k ; j = l , ’ 一 n ) ( 5) 可 以 求得 k 个 回归方程 石 , 一 (了幻 一 ’ 丫戈(下标 t 代表第 t 组 样本 , t 一 1 , … , k) , 对 b , 有 k 个估 值 , 简 记为 ” ` 1 , ` ’ ` , ” `左 · 于是 有 对 v 护, 田 `的值计云 了 一 ( “ k) ,各 l b 孟了, 山 ` 一 “ ( k 一 ’ ) ,菩 l (b ! , 一 公 矛 ) ’ · 为讨 论方 便 , 仍 记认 , 叭为 。 , , 。 : . 于是根据 历史资料 可确定 了 b , 的先 验分 布 从 。 ` , 。 ,)( i = ,l 一川 · 现在 来求 b ` 的 B ay es 估 计 . 根据 前面 的讨 论 , 石 , 为 由当前 样本 得到 的 b ` 的最小 二乘估计 , 为 避免混 淆 , 记 石 ` 为 2 . 可 以求 得 已知 : `条 件下 b ” 后 验分布 为 M (z 尸 : + ic 尸 。 , )/ 佃 , + ic声), ( e ; 对。 ` ) / ( 。 , + e ,声) ]故 b ` 的 B盯 e s 估计为 : 石 , 一 (聊 , + e , 声 v 川 。 , + e , 对) ( i 一 l , … , 尹) ( 6 ) 它是 b , 的小样 本优 良估 计 . .2 2 选控指标 Y csB 分布参数的确定 记 几 一 i 豁砂 ` , 它是在 回 归系数 称 ` 一 ` , 一 )P 下 对上 工序 影 响所 作 的估计 · 由于是 “ iB 是 b ` 的有偏 估计 , , cs B一 夕 一 亏的均值不 再是 0 . 下面来 讨论 选 控统 计量 , 。 s B的均廊 cs 。 与方 差 之 a人 B估计 问题 . 对于来 自当前生产 过程 的 1 组样本 认 , 川 i( 一 1 , … , n) , cy sB ` 一 , , 一 几i( 一 1 , … , n) 是 * 。 sB ” 一组 样本 · 据此 可御 。 B和吃 。的常规估计 : , csj B 一 (“ 唯ycs B , , cs B 一 , ` , (n 一 `) , 客 】 蝙 ; - 歹。 a,) , . 由于 样 本较 少 , 该 估计 同样 缺 乏稳 定性 . 这 里仍借助历 史信 息用 B ay e s 估 计 来 改 进 它 们 . 根 据前面咖 , a ’ 的讨 论 , 可 以 设 从 s B一 N(r , 句 , 1/ :ac B厂一 ( 0 , )P , 其 中: , 占 , e , p 为超参数 . 利 用前面 得到 的历 史数据 (式 l) , 根据公 式 ( 式 2) 对每批 生产都能得 到基 于 B ay es 估 计的 回 归方程 , 其 中上标 t 代表第 t 批生 产 . 从而 可得第 t 批 生产 的本工 序分 质量 指标 : 夕跳 = 少`。 一 夕留 ( ` = l , … , k) (7 ) 将各 组样本 代人 公式 (7 ) , 得 各批生 产的本工序分质量 样本 : y思 BI C 一 1 , 一 。 , , 一 h … , k) . 记瓜 B 一 ( , n)/ 郭氛 , 毛 , 一 l (n/ n 一 `) 、菩 : 。思 、 一 难 B ) 2 , M l 一 ( 1 / k) 全毛 , , 从一 ( 1k)/ 全cst l, 凡 一 ( , ` 。 , 邹 一 凡 一 , ` k( 一 1) , 吝良 B 一 琳 同前述 方 法 能 由历史 样 本 。袅动得 到云一 凡 , 占一 凡 , e 一 1 + 机(城 一 衅), 户二 鱿 城 / (从 一 衅 ) · 这样 , 我 们得 到 了随机 变 量 cy s 。 的 均值方 差 的先验 分布 , 根据 当前生产 过 程 的样 本 x( , , 助 i( = 1 , … , 的和历 史样 本 ( 式 5) , 能得 到 当前过 程基 于 B ay es 分 析 的 回归方 程 , 进而 得到 选控 指标 的样 本 cy s BI i( 二 l , … , 的 . 根据 1 . 1 和 1 . 2 的结 论 , 可得群cs 。和雌 s B 的 B ay es 估计 : 认 。 = (E u 永 B .可) 二 ( 、 一 ] )可 + 幼 . 2 乡+ ( 、 一 3 ) ’ 拜一 B = 即 cs B }助 二 。 3 , 、 + 云悦 s B q占+ 悦 s。 ’

·602* 北京科技大学学报 1998年第6期 为讨论方便，记a,为4cs0sB·这样按照1.3介绍的方法可以建立小批量选控图： r图 UCL MCsB 3 0CsB R图UCL=3.690csB CL=CsB CL =1.13 0csB LCL MCSB-3 0CSB LCL=一 建立上述3组控制图后，根据表1典型情况诊断表，参照样本在控制图上的表现，就可以对小 批量生产的质量做出诊断， 概括上述讨论，基于分析的小批量质量诊断步骤如下：(1)搜集当前生产过程及历史生产 过程（上、本工序）的样本，要求样本不少于10组，每组不少于20个样品；(2)按照小批量质量 控制方法求出上、本工序总质量指标参数的估计值4B0B4B0,®(3)按公式（⑥）求出各批产 品的回归方程系数的Byes估计；(4)按公式(7)求出各批产品的本工序分质量样本值；(5)按 照(2)介绍的方法求出本工序分质量指标参数的估计值4 CSO(6)根据uOm“,B0B4 0建立全控图、选控图(xR,图、xR图或xS图)，依据表1进行小批量生产的质量诊断. 2.3实例 应用本法对山东新华制药厂安乃近生产线吡唑酮、安替比林工序进行质量诊断 表1典型情况诊断表 典型 上工序 下工序下工序 情况全控图 全控图选控图 诊 断 I 异常 异常异常 分异常（存在欲控异因），上影也异常（存在非控异因） I 异常 异常 正常 分质量正常（无欲控异），上影异常（存在非控异因） Ⅲ 异常 正常 异常 分质量正常（存在欲控异因），上影也异常（存在非控异因），但二者 方向相反而抵消，使总质量正常 分质量正常（无欲控异因），上影异常（存在非控异因），但二者方向 异常 正常 正常 相反而抵消，使总质量正常 正常 异常 异常 分质量异常（存在欲控异因），上影正常（无非控异因） 分质量正常（无欲控异因），上影也正常（无非控异因），但二者方向 T 正常 异常 正常 相同而叠加，使总质量异常 分质量异常（存欲控异因），上影正常（无非控异因），但二者方向 Ⅻ 正常 正常 异常 相反而抵消，使总质量正常 I 正常 正常 正常 分质量、上影和总质量均正常 (I)由历史样本和当前小样本得前后两质量指标标准差和均值的Byes估计：o=0.29, 0,=0.77,4、=98.93,4,=79.94.(2)根据生产经验，安替比林含量与吡唑酮含量是线性相关 关系，即y=b。+bx+ε.由于当前生产过程样本少，据此作出的回归方程缺乏稳定性，故用 第2部分介绍的方法来求回归方程及's分布参数的估计，应用编好的程序，代入历史数据 得b。=80.21,b,=2.22e-6,'csB~NM0.04,0.77),而且可得到移动极差的样本均值分别为R =017,R=0.88、和R=0.87.由此便可以构造选控图.现在从当前生产过程得12个样本， 由于有了b和b,可得y的样本，见表2

. 6 0 2 . 北 京 科 技 大 学 学 报 19 9 8年 第6 期 为讨论 方便 , 记户 , 扩为户Cs B , 咋 s 。 · 这 样按 照 1 . 3 介绍 的方法 可 以 建立小 批量 选控 图 : 丫 图 U C L = 群e s B + 3 a e s B C L L C L = 拜e s B = 拜e s B 一 3 a c s B 建立 上述 3 组控 制 图后 , 根据 表 1 典型情 况诊 断表 批量 生 产 的质量做 出诊断 . 尺图 U C L = 3 · 6 9 a e s a C L = 1 . 1 3 a e s B L C L 二 一 , 参照样 本在 控制 图上 的表现 , 就 可 以 对小 概 括 上述 讨论 , 基 于分 析 的小 批量 质量诊 断步 骤 如下 : (l ) 搜集 当前 生产过 程及 历史 生产 过 程 (上 、 本 工序 ) 的样 本 , 要求 样 本不 少于 10 组 , 每组 不少 于 20 个样 品 ; (2) 按 照小 批量 质量 控 制方 法求出 上 、 本 工 序总 质 量指 标参数 的估计 值 拜诏 , a 。 , 拜 , B , 久 B ; (3 ) 按公 式 ( 6) 求 出各批 产 品的 回 归 方程 系 数 的 B ay es 估 计 ; (4) 按公 式 (7) 求 出各 批 产 品 的本 工序 分质 量 样本 值 ; ( 5) 按 照 ( 2) 介绍 的 方 法求 出本 工序 分 质 量指 标 参数 的估计 值 群C s B , ac s B ; ( 6) 根 据群虑 , a 龙 , 气 B , 吼B , 拜 cs B , acs B建立全控 图 、 选 控 图 (-x R : 图 、 又R 图或 又S 图 ) , 依据 表 1 进行 小批量 生产的质 量诊 断 . 2 . 3 实例 应用本法 对山东新 华制药厂安乃 近 生产线 毗 哩酮 、 安替 比林 工 序进 行质 量诊 断5[] 表1 典型情况诊断表 典型 情况 上工序 下工序 下工序 全控图 全控图 选控图 异常 异常 异常 异常 异常 正 常 分异常 (存在欲控异因 ) , 上 影也异常 (存在非控异 因 ) 分 质量正 常 (无欲控异 ) , 上影异常 (存在非控异 因 ) 1 异常 正 常 异常 W 异常 正 常 正 常 分质量正 常 (存在欲控异 因 ) , 上影也异常 (存在非控异 因 ) , 但二者 方 向相反而抵消 , 使总质量正常 分质量正常 (无欲控异 因) , 上影异常 (存在非控异因 ) , 但二者方向 相反而 抵消 , 使总质量正常 V 正常 异常 异常 分质量异常 (存在欲控异因) , 上影正 常 (无非控异因) VI 正 常 异 常 正 常 姐 正 常 正 常 异常 分质量 正常 (无欲控异 因) , 上影也正 常 (无非控异因 ) , 但二者方向 相 同而 叠加 , 使总质量异 常 分质量异 常 (存 欲控异 因 ) , 上影正 常 (无非控异 因 ) , 但二者方 向 相 反而抵消 , 使总质量正 常 姗 正 常 正 常 正 常 分质量 、 上 影和 总质量均正 常 (l ) 由历 史 样 本和 当前 小 样 本得 前后 两 质量 指标 标准差 和均 值的 B ay es 估计 : 叮 二 = 0 . 29 , 氏 二 0 . 7 , 拜 二 = 98 . 93 , 从 二 79 . 94 . (2 ) 根 据 生 产经 验 , 安替 比林 含量 与毗 哩酮含 量是 线性 相 关 关系 , 即 y = b 。 + b l x + : · 由于 当前生 产 过程 样 本少 , 据此 作 出的 回 归方 程缺乏 稳定性 , 故用 第 2 部 分介 绍 的方 法 来 求 回归 方程 及 少cs 。 分布 参数 的估 计 . 应用 编好的程序 , 代人 历史 数据 得 b 。 = 80 · 21 , b 、 二 2 . 2 2 e 一 6 , yc s B 一 从住 04 , .0 7 ) , 而 且 可得 到 移 动极 差 的样 本均值分别 为尺 二 O 、 17 , 只 = 0 · 8 、 和 尺 c 一 .0 87 · 由此便 可 以构 造选控 图 · 现 在从 当前生 产过程得 12 个样本 , 由于有 了 b b和 b 【, 可得 夕 。 s 的样本 , 见 表 .2

Vol.20 No.6 卜样民等：基于Bayes分析的小批量生产质量控制与诊断 ·603· 表2当前生产过程的日常控制样本 类别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 98.95 98.7698.9498.8898.3599.1098.5398.9098.5098.5399.0598.50 y 79.0080.8380.8278.8580.3580.7480.1781.2979.1080.2080.8079.53 y4-1.210.610.61-1.370.140.53-0.041.08-1110.070.60-0.68 由表2可知，x的UCL=99.80,LCL=98.06,CL=98.93:v的UCL=82.25,LCL= 77.63,CL=79.94;y的UCL=2.31,LCL=2.31,CL=0.04.由表3可知，R(x)的UCL= 0.63,CL=0.19,其中第5点显示异常；R0y)的UCL=325,CL=0.99:R0y)的UCL=3.21, CL=0.98.由此可知，当前生产过程的其余阶段均正常. 表3当前过程的日常控制样本的极差 类别 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 R() 0.19 0.18 0.06 0.53 0.75 0.57 0.37 0.40 0.03 0.52 0.55 R(y) 1.8 0.01 1.97 1.5 0.39 0.57 1.12 2.19 1.18 0.52 1.27 R0y.)1.82 0 1.981.510.390.571.122.191.180.53 1.28 参考文献 I Hillier F S.Small Sample Probability Limits for the Range Chart.Journal of Quality Technology, 1997,62(320):1488 2 Quesenberry C P.SPC Q-Charts for Start-Up Processes and Short or Long Runs.Joumnal of Quality Technology,1991,23(3):213 3张公绪.选控图理论与实践.北京：人民邮电出版社出版，1984 4陈家鼎，孙山泽，李东风.数理统计讲义.北京：高等教育出版社，1993 5卜样民.小批量生产的质量控制与诊断：[博士学位论文].北京：北京航空航天大学，1998 Quality Control and Diagnosis for Small Volume Based on Bayesian Analysis Bu Xiangmin Sun Jing Zhang Gongxu Management School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABRTACT Applying the Bayesian analysis,utilizing fully the historical information,got the optimum parameters estimations was got,thus established the control charts and the cause selecting control charts and the diagnosis theory with two kinds of quality for small volume.Practical case studies proved that the theory is in accordance with the practice. KEY WORDS bayesian estimation;normal estimation;shewhart control chart for small volume;cause-selecting control chart for small volume

V o l . 2 0 N 心 . 6 卜祥 民等 : 基于 B ay es 分析的小批量生产质量控制与诊断 . 6 0 3 . 表2 当前生产过程的 日常控制样本 类别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 x 9 8 . 9 5 9 8 . 7 6 9 8 . 9 4 9 8 . 8 8 9 8 . 35 99 . l 0 9 8 . 5 3 9 8 . 9 0 9 8 . 5 0 9 8 . 5 3 9 9 . 0 5 98 . 5 0 y 7 9 . 00 8 0 . 83 80 . 8 2 7 8名5 8 0 . 35 8 0 7 4 8 0 . l 7 8 1 . 2 9 7 9 . l 0 8 0 . 2 0 8 0 . 80 7 9 . 5 3 yc . 一 1 . 2 1 0 · 6 1 0 · 6 1 一 1 . 3 7 0 . 14 0 . 5 3 一 0 刀4 1 . 0 8 一 1 . 1 1 0 . 0 7 0 . 6 0 一 0 . 6 8 由 表 2 可 知 , x 的 U C L = 9 . 80 , L C L = 98 .0 6 , C L 二 7 7 . 6 3 , C L = 7 9 . 9 4 ; 少 。 s 的 U C L = 2 . 3 1 , L C L = 2 . 3 1 , C L = 0 . 9 5 . 9 3沙 的 u C L = 8 2 . 2 5 , L C L = 0 4 . 由 表 3 可 知 , 尺( x ) 的 u e L = 0 . 6 3 , C L = 0 . 19 , 其中第 5 点显示异 常 ; 尺伽) 的 U C L = 3 . 2 5 , C L = 0 . 9 9: 尺伽 。 s )的 U C L = 3 . 2 1 , C L = .0 9 8 . 由此可知 , 当前 生产过程 的其余 阶段均正 常 . 表3 当前过程的 日常控制样本的极 差 类别 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 ~~ ~~ ~~ ~~~ ~~ ~~ ~~ ~~~ _ 几 (户 0 . 19 0 . 1 8 0 . 0 6 0 . 5 3 0 _ 7 5 0 弓7 0 飞7 n 4 n n n 飞 n 气, n 气气 凡臼) 1 . 8 0 . 0 1 1 . 9 7 1 . 5 0 . 3 9 0 . 57 1 . 12 2 . 1 9 1 . 1 8 0 . 5 2 1 . 27 凡伽动 1 . 82 0 1 . 9 8 1 . 5 1 0 . 3 9 0 . 5 7 1 . 12 2 . 1 9 1 . 18 0 . 53 1 . 2 8 , 考 文 献 l 托 Ili e r F 5 . Sm al l S am lP e rP o b a bi li yt iL而 st of r het Ra n g e C h art . J o u m al o f Qaul i yt eT c hn o l o g y , 199 7 , 6 2 ( 32 0 ) : 14 8 8 2 Que s e n be 叮 C P . S CP q hC a 川比 fo r Sat tI . UP rP oc e s s e s an d S h o rt o r L o n g R u 们 s . J o u nr al o f Q alU i yt eT e hn ol og y , 1 99 1 , 2 3 ( 3 ) : 2 1 3 3 张公绪 . 选控图理论与实践 . 北京 : 人 民邮电出版社 出版 , 1 98 4 4 陈家鼎 , 孙山泽 , 李东风 . 数理统计讲义 . 北京 : 高等 教育 出版社 , 1 9 93 5 卜祥 民 . 小批 量生产的质量控制与诊 断 : 【博士学位论文 ] . 北京 : 北京航空航天 大学 , 1 9 98 Q ual 妙 C o n otr l a n d 以笔n o s i s fo r S m al l v o l um e B as e d o n B 即e s i an nA al y s i s uB 茉a n g 脚in 反n iJ n g 乃 a n g G o ng 测 M a n a g e me nt S c h o l , US T B e ij igl , B e ij i飞 10 0 0 8 3 , C ih n a A B R T A C T A PP ly ign hte B ay e s i an ih s ot ir c al i n of rm iat o n , g o t het 。. leO)r庄e hetwot 叩it r n uj rn s e l e e it n g p an u n e et sr e s t e o n t or l e h a 川治 C S it r n a it o l S W韶 an al y s i s , u it li z i n g ful l y 9 0 仁山u s e s at b li s he d 明d het id ag n o s i s het o yr w iht Por v e d ht a t ht e het o yr 1 5 i n e o n t r o l e h a tSF a n d ik n d s o f q u a liyt C a U SC Sm al l v o l u r n e . P任岭 it C al K E Y 、 甲O R D S c as e s tU d i e s ac e o dr an e e w iht het P acr b ay e s ian e s it m a it o n : n o mr ia S m a ll v o l um e : c au s e 一 s e l e e it n g e o n tr o l e h a rt fo r s m al l e s it m iat o n ; s he w h art e o n otr l e h a rt v 0 1 U r n e