定理3设y*(x)是二阶非齐次方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)O 的一个特解，Y(心)是相应齐次方程的通解，则 y=Y(x)+y*(x) ② 是非齐次方程的通解. 证：将y=Y(x)+y*(x)代入方程①左端，得 (Y"+y*")+P(x)(Y'+y*")+Q(x)(Y+y*) =(y*"+P(x)y*'+Q(x)y*)+(Y"+P(x)Y'+Q(x)Y) =f(x)+0=f(x) 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 设 xy )(* 是二阶非齐次方程 的一个特解, y = Y x + y x)(*)( Y (x) 是相应齐次方程的通解 , y′′ + P ′ + yxQyx = f x)()()( 则 是非齐次方程的通解 . 证 : 将 y = Y x + y x)(*)( 代入方程①左端, 得 Y ′′ + y ′′)*( + P x Y′ + y ′)*()( = y ′′ + P ′ + yxQyx )*)(*)(*( + Y′′ + P x Y′ + xQ Y))()(( = f x + = f x)(0)( + xQ Y + y )*()( ② ① 定理 3