《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 两式相减：46a.6-2316P=0,解得：1b2=2ā6且|a=2a-6, a6a6_1 coso-26 0= §7、平面及其方程 称三元西数方程F(化，八，2)=0是空间某曲面的方程一曲面上的任意一点都满足方程，且 满足方程的点一定在曲面上。 一、平面方程 1、平面的点法式方程 平面的法向量：与平面垂直的向量称为平面的法向量，记作：其坐标表达式常写为： ={A,B,C。 注：根据法向量的定义，若所是平面的法向量，则万（入≠0）也是平面的法向量。 ai2>0) 由空间几何的知识可知，经过空间一定点M(,,乙) 垂直于已知直线的平面是唯一确定的。从而过M(,%,) 点垂直于已知向量的平面也就是唯一确定的。通常用Ⅱ来表示平面。 c的 设有一平面Π，M,(o,,)是1上的一个已知点，n={4,B,C;是Π的法向量：在平面Π 上任意取一点M(x,八，)，得向量： MoM={x-x0y-yo=-50 M 则有：M,M⊥n,即n:MM=0,或A(x-x)+B0y-%)+C(z-2)=0★：表明：平面Π上 任意一点M的坐标满足方程★。 反之，若M(x,y,z)不在平面Ⅱ上，则MMLn就不成立，从而推不出nMM=0,即 此时M的坐标不满足方程★。 综合上面的讨论，得出过M。点、以n为法向量的平面Ⅱ的方程为： nMoM=0 {4-0+0-0+G-0=0 平面Ⅱ的点法式方程 注：建立，点法式方程的关键是确定平面上的一个点及平面的法向量。 例1、一平面过点M,(3,-2,),且与M,到平面外一点M,(-2L,4)的连线垂直，试写出此平面的 方程。 解：由条件，向量MM=-5,33}与平面垂直，故n=M。M,=5,3,3},所求平面方程为： 第11页一共28页 票东安