《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 -5(x-3)+3y+2)+3(z-1)=0,或-5x+3y+3z+18=0。 例2、某平面过空间的三个点M,(2,-3,-)、M,(41,3)、M,1,0,2),试写出平面的方程 解：MM={24,4,M4M=←-1,3,3}，则 M,M2×MM=244=0i-10j+10k=0,-10,10y F13 取n=M,M2×M,M={0,-10,10),M。=M,(2,-3,-1),则平面方程为 0x-2)-10y+3)+10(z+1)=0或-10y+10z-20=0或y-z+2=0 注：也可以取万=M,xM(0).如上题中，令=0则取员=0一-，建立 平面方程为：0(x-2)+1(y+3)-1(2+1)=0,整理后可得：y-z+2=0。 2、平面的一般方程 1)法向量为n={A,B,C、经过M(,2)的平面的一般方程 A(x-x)+B0y-)+C(z-2)=0 经过整理可得：Ax+By+Cz-(Ax。+B,+Cz)=0。记D=-(Ax。+B,+Cz),则点法式方程 被变形为：Ax+By+C2+D=0: 注：①平面一般方程：Ax+y+Cz+D=0中x,八，z的系数恰好是平面法向量的坐标A,B,C: ②平面方程的特点是三元一次线性方程，而且任何一个三元一次的线性方程表示的均是平面： ③在平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0中，A,B,C,D四个数只有三个是独立的。法向量的 坐标不可能问时为本。不纷议4上0，则可将方位成写为：+导+气+会-0，或记为 x+By+Cz+D=0。因此建立平面的一般方程只需要三个独立的条件。 例3、平面元经过点M,,1)和M,(2,2,2),并且于已知的平面x+y-z=0垂直，求平面π的 方程。 解：(1)设平面π的一般方程：A+By+Cz+D=0: M在平面π上： A+B+C+D=0 M在平面π上： 2A+2B+2C+D=0 {4,B,C⊥{L,L-1,{A,B,C}{1,-1}=0: A+B-C=0 解得：D=0,C=0,B=-A,带入方程Ax+By+Cz+D=0可得： 第12页一共28页 票来安