。124 北京科技大学学报 第31卷 的思路 ta(xi)-tB(xi)+fa(xi)-fB(xi) 4 1 Vague集基础知识 lt4(x)-g(x川+lfA(x)-fa(x山 (2) 定义设U是一个非空集合，它的元素用x 8 表示.U上的一个Vague集A是指U上的一对隶 Mz(A,B)的值越大，表示Vague集A和B越 属函数14和fA,即 相似.不难发现，当=1时，式(2)就是式(1). tA:U[0,刂，fA:U[0,], 2 Vague复合物元 满足t4(x)+fA(x)≤1，且0≤4(x)≤1,0≤ fa(x≤L.其中，t4为V ague集A的真隶属函数， 在可拓学中，物元是以事物、特征及事物关于该 表示支持x∈A的证据的隶属度下界；fA称为 特征的量值三者组成的有序三元组10，记为R= V ague集A的假隶属函数，表示反对x∈A的证据 (事物名称特征，量值)=(N,G,). 的隶属度下界. 假设事物N有n个特征，可表示为C={a, 设x∈U,称闭区间[ta(x),1一fa(x力为 c2,;cn}.特征G的取值y为Vague值[g,b] Vague集A在点x的Vague值.它同时表示了支持 (j=1,2,,n),则称R为n维Vague物元.如果 和反对x∈A的隶属程度.例如，A在点x的 m个事物的n维Vague物元组合在一起，则称为m Vague值ta(x),1-fa(x]=[0.5,0.8),则有 个事物的n维复合Vague物元，记为Rmm: 14(x)=0.5,1-fa(x)=0.8,f4(x)=0.2.此时 N1N2…Nm 可以解释为：元素x属于A的程度是0.5不属于 c1V11V21 Vml A的程度是0.2，对A的未知程度是03.在投票 C2V21V22 …Vm2 模型中被解释为：在10个投票人中，有5人赞成2 人反对，3人弃权.由此可见，集合A在点x的 CnLVn1 Vn2 Vmn Vague值[tA(x),I-fa(x力的内涵，比A在点x N1 N2 Nm 的Fuz四y值，即隶属函数值（隶属度）“(x)要丰富得 cI[an,bii] [a21,b2] …[aml,bml] 多 c2[a12,b1 [a22,b2 …[am2,bm 相似度量是研究和应用Vague集的重要工具. 2005年，周晓光等对Vague集（值）之间的相似度量 cnL[ain;bin]a2n,b2n] amn;bmnl 进行了回顾和比较，提出改进的V ague值度量方法 (3) 如下9 式中，Rmm为m个事物的n维复合Va照ue物元，N: 为了简化公式，设x和y为V ague值，tx和y 为第i个事物，v为第i个事物的第j个特征的量 分别表示x和y的真隶属函数，f和F分别表示x 值，其值为Vague值[a,b(i=L,2,；m: 和y的假隶属函数，则Vague值x和y的相似度可 =1,2,…,n. 表示为 Ma(x,y)=I---(-L 3基于理想解的Vague物元决策方法 8 l-+-_1:-|-（) 在理想解法中，PS是方案集中不一定存在的 4 8 虚拟的最佳方案，而NIS则是虚拟的最差方案.将 Mz(x,y)值越大说明Vgue值x和y越相似. 方案集中的方案物元与PS和NIS的距离进行比 设A和B为论域U={x1,x2,,xn}中的两 较，既靠近PS又远离NIS的方案就是最佳方案， 个Vague集，t4(x)和tg(xi)分别表示A和B的真 并据此排定方案集中各方案的优先序. 隶属函数，f4(x)和fB(x:)分别表示A和B的假 3.1确定Vague复合方案物元 隶属函数，i=1,2,,n,则Vague集A和B的相 假设有m个待评方案，需要根据n个指标进 似度可表示为： 行评价，可请专家对各备选方案的重要性进行评 Mz(A,B)= 价，专家意见可采用语言变量表示1”，如表1所示. 1--(- 根据表L,将专家意见转换为相应的V ague值， 则复合方案物元为：的思路. 1 Vague 集基础知识 定义 设 U 是一个非空集合, 它的元素用 x 表示.U 上的一个 Vague 集 A 是指 U 上的一对隶 属函数t A 和 f A , 即 t A :U ※[ 0, 1] , f A :U ※[ 0, 1] , 满足 t A ( x ) +f A ( x ) ≤1, 且 0 ≤t A ( x ) ≤1, 0 ≤ f A( x ) ≤1 .其中, t A 为Vague 集 A 的真隶属函数, 表示支持 x ∈ A 的证据的隶属度下界;f A 称为 Vague 集 A 的假隶属函数, 表示反对 x ∈ A 的证据 的隶属度下界. 设 x ∈ U , 称闭区间[ t A ( x ), 1 -f A ( x )] 为 Vague 集 A 在点 x 的 Vague 值.它同时表示了支持 和反对 x ∈ A 的隶属程度.例如, A 在点 x 的 Vague 值为[ t A( x ), 1 -f A ( x )] =[ 0.5, 0.8] , 则有 t A( x ) =0.5, 1 -f A ( x ) =0.8, f A ( x ) =0.2 .此时 可以解释为:元素 x 属于 A 的程度是 0.5, 不属于 A 的程度是 0.2, 对 A 的未知程度是 0.3 .在投票 模型中被解释为 :在 10 个投票人中, 有 5 人赞成, 2 人反对, 3 人弃权 .由此可见, 集合 A 在点 x 的 Vague 值[ t A( x ), 1 -f A ( x )] 的内涵, 比 A 在点 x 的 Fuzzy 值, 即隶属函数值( 隶属度) μ( x )要丰富得 多. 相似度量是研究和应用 Vague 集的重要工具 . 2005 年, 周晓光等对 Vague 集(值)之间的相似度量 进行了回顾和比较, 提出改进的 Vague 值度量方法 如下 [ 9] . 为了简化公式, 设 x 和 y 为 Vague 值, t x 和 ty 分别表示 x 和 y 的真隶属函数, f x 和 f y 分别表示 x 和y 的假隶属函数, 则 Vague 值 x 和y 的相似度可 表示为: MZ( x , y ) =1 - t x -t y -( f x -f y ) 8 - t x -ty +f x -fy 4 - t x -ty + f x -f y 8 ( 1) MZ ( x , y )值越大, 说明 Vag ue 值 x 和y 越相似. 设 A 和B 为论域 U ={x 1, x 2, …, x n}中的两 个Vague 集, t A( x i)和 tB( x i)分别表示 A 和B 的真 隶属函数, f A( x i) 和 f B ( xi )分别表示 A 和 B 的假 隶属函数, i =1, 2, …, n , 则 Vague 集 A 和B 的相 似度可表示为: MZ ( A , B ) = 1-1 n ∑ n i =1 tA( xi) -tB( xi) -( f A( xi) -fB( xi)) 8 + t A( x i) -tB( x i) +f A ( xi) -fB ( xi) 4 + t A( x i) -tB( xi) + f A( x i) -f B( x i) 8 ( 2) MZ( A , B) 的值越大, 表示 Vague 集 A 和B 越 相似.不难发现, 当 i =1 时, 式( 2)就是式( 1) . 2 Vague 复合物元 在可拓学中, 物元是以事物 、特征及事物关于该 特征的量值三者组成的有序三元组[ 10] , 记为 R = (事物名称, 特征, 量值) =( N, C, V) . 假设事物 N 有 n 个特征, 可表示为 C ={c1, c2, …, cn}.特征 cj 的取值 vj 为 Vague 值[ aj , bj] ( j =1, 2, …, n) , 则称 R 为n 维 Vague 物元.如果 m 个事物的n 维Vague 物元组合在一起, 则称为 m 个事物的 n 维复合 Vague 物元, 记为 Rmn : N1 N 2 … N m R mn = c1 c2  cn v 11 v 21 … v m1 v 21 v 22 … v m2    v n1 v n2 … v mn = N 1 N2 … N m c1 c2  cn [ a11, b11] [ a21, b21] … [ am1, bm1] [ a12, b12] [ a22, b22] … [ am2, bm2]    [ a1n , b1 n] [ a2n , b2 n] … [ amn , bmn] ( 3) 式中, Rmn为 m 个事物的 n 维复合 Vag ue 物元, Ni 为第 i 个事物, vij 为第 i 个事物的第 j 个特征的量 值, 其值为 Vague 值[ aij , bij] ( i =1, 2, …, m ; j =1, 2, …, n) . 3 基于理想解的 Vague物元决策方法 在理想解法中, PIS 是方案集中不一定存在的 虚拟的最佳方案, 而 NIS 则是虚拟的最差方案 .将 方案集中的方案物元与 PIS 和 NIS 的距离进行比 较, 既靠近 PIS 又远离 NIS 的方案就是最佳方案, 并据此排定方案集中各方案的优先序 . 3.1 确定 Vague 复合方案物元 假设有 m 个待评方案, 需要根据 n 个指标进 行评价 .可请专家对各备选方案的重要性进行评 价, 专家意见可采用语言变量表示[ 11] , 如表 1 所示. 根据表 1, 将专家意见转换为相应的 Vague 值, 则复合方案物元为 : · 124 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷