D01:10.13374.isml00103x.2009.01.014 第31卷第1期 北京科技大学学报 Vol.31 No.I 2009年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2009 基于理想解的vague物元决策方法及其应用 周晓光高学东武森 北京科技大学经济管理学院。北京100083 摘要结合物元理论和Vgue集理论，提出模糊环境下的物元决策模型.介绍了Vgue集的概念，给出Vgue复合物元的 定义.根据改进的Vag排序函数确定方案物元的正理想解和负理想解.利用相似度量确定各方案物元到理想物元的距离， 计算方案的贴近度，以此选择最优方案.用案例说明所提出的物元决策方法的应用过程.结果表明，本文提出的方法对模糊 和不确定的决策问题具有较好的实用性 关键词理想解：模糊物元：Vague集；排序函数：可拓理论 分类号N94520144 Method and application of Vague matter-element decision making based on ideal solution ZHOU Xiao-guang.GAO X ue-dong.WU Se School of Economics and Management,University of Science and Technology Beiing.Beijing 100083.Chim ABSTRACT Considering the theories of matter-element and vague set,a model of matter-element decision making under vague envi- ronment was proposed.The definition of vague sets w as introduced and the compound vague matter-element was defined.The posi- tiveideal solution and negative-ideal solution of scheme matter-element were established by an improved order function of vague val ues.A ccording to the similarity measure of vague values,the distances between scheme matter-element and ideal matter-element were calculated,and the best scheme oould be selected by the rule of closeness degree.A numerical example is given to apply the proposed method,and the result show s that the proposed method is available for vague and uncertain decision making problems. KEY WORDS ideal solution vague matter-element;vague set;order function;extension theory 可拓理论是中国学者蔡文于1983年创立的一 之中.1993年，Gau和Buehre9提出Vague集理 门新兴学科山.可拓学是用形式化模型研究事物拓 论.Vague集是Fuz四集的一种推广形式，它等同于 展的可能性和开拓创新的规律与方法.并用于解决 Atanassov在1983年提出的直觉模糊集7.Vague 计算机与人工智能、控制与检测、经济与管理等领域 集能从支持、反对和弃权三个方面表示决策者的偏 中矛盾问题的科学.近年来，可拓理论在管理决策、 好信息，在处理不确定信息时比uz四集有更强的 产品营销、创新设计等多个领域获得了广泛应 表示能力，且更灵活.198I年，Hwang和Yooy提 用一到.但是，作为一门新兴的学科，可拓学还需要 出逼近理想解的排序方法来求解多属性决策问题 进一步推广和完善.物元是可拓学最基本的逻辑单 即借助多属性决策问题的理想解(positive-ideal 元.蔡文等对一维物元可拓集、n维物元可拓集的 solution,PIS)和负理想解(negative-ideal solution,. 基本概念、运算和相关性质进行了研究：曹少中 NIS)给方案集中各方案排序，理想解法是求解多属 等讨论了多层多维物元可拓集合的性质及运算9， 性决策问题的一个较好的方法.有鉴于此，本文将 在决策过程中，由于决策信息的不确定性、不完 三者结合起来，提出基于理想解的Vague物元决策 全性和不精确性等，模糊集理论被广泛应用于决策 方法，为可拓理论在模糊环境下的决策支持提供新 收稿日期：200801-08 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。.70771007):教有部新世纪优秀人才资助项目(Na.NCET-050097) 作者简介：周晓光(1977一），男，讲师，博士，E-mal:xiaoguang@marage.usth.cd.m
基于理想解的 Vague 物元决策方法及其应用 周晓光 高学东 武 森 北京科技大学经济管理学院, 北京 100083 摘 要 结合物元理论和 Vag ue 集理论, 提出模糊环境下的物元决策模型.介绍了 Vague 集的概念, 给出 Vag ue 复合物元的 定义.根据改进的 Vague 排序函数确定方案物元的正理想解和负理想解.利用相似度量确定各方案物元到理想物元的距离, 计算方案的贴近度, 以此选择最优方案.用案例说明所提出的物元决策方法的应用过程.结果表明, 本文提出的方法对模糊 和不确定的决策问题具有较好的实用性. 关键词 理想解;模糊物元;Vague 集;排序函数;可拓理论 分类号 N 945.2;O 144 Method and application of Vague matter-element decision making based on ideal solution ZHOU Xiao-guang, GAO X ue-dong, WU Sen S chool of Economics and Management, Uni versit y of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, C hina ABSTRACT Considering the theo ries of ma tter-element and vague set, a mo del of matter-element decision making under vag ue environment was proposed .The definition of vague sets w as introduced and the compound vague ma tter-element was defined.The po sitiv e-ideal solutio n and negative-ideal solutio n of scheme matter-element were established by an improved order functio n of vague values .According to the similarity measure of v ag ue values, the distances between scheme matter-element and ideal matter-element were calculated, and the best scheme could be selected by the rule of closeness deg ree.A numerical ex ample is given to apply the proposed method, and the result show s tha t the propo sed method is available for vague and uncertain decision making problems. KEY WORDS ideal solutio n;vague matter-element ;vague set ;o rder function ;ex tension theory 收稿日期:2008-01-08 基金项目:国家自然科学基金资助项目( No .70771007) ;教育部新世纪优秀人才资助项目( No .NCE T-05-0097) 作者简介:周晓光( 1977—) , 男, 讲师, 博士, E-mail:xiaoguang @manage.ustb.edu.cn 可拓理论是中国学者蔡文于 1983 年创立的一 门新兴学科[ 1] .可拓学是用形式化模型研究事物拓 展的可能性和开拓创新的规律与方法, 并用于解决 计算机与人工智能、控制与检测、经济与管理等领域 中矛盾问题的科学.近年来, 可拓理论在管理决策 、 产品营销、创新设计等多个领域获得了广泛应 用 [ 2-3] .但是, 作为一门新兴的学科, 可拓学还需要 进一步推广和完善.物元是可拓学最基本的逻辑单 元.蔡文等对一维物元可拓集、n 维物元可拓集的 基本概念、运算和相关性质进行了研究[ 4] ;曹少中 等讨论了多层多维物元可拓集合的性质及运算 [ 5] . 在决策过程中, 由于决策信息的不确定性 、不完 全性和不精确性等, 模糊集理论被广泛应用于决策 之中 .1993 年, Gau 和 Buehrer [ 6] 提出 Vague 集理 论 .Vague 集是 Fuzzy 集的一种推广形式, 它等同于 Atanassov 在 1983 年提出的直觉模糊集[ 7] .Vague 集能从支持、反对和弃权三个方面表示决策者的偏 好信息, 在处理不确定信息时比 Fuzzy 集有更强的 表示能力, 且更灵活.1981 年, Hw ang 和 Yoon [ 8] 提 出逼近理想解的排序方法来求解多属性决策问题, 即借助多属性 决策问题的理想 解( positive-ideal solution, PIS) 和负理想解( negative-ideal solution, NIS) 给方案集中各方案排序 .理想解法是求解多属 性决策问题的一个较好的方法 .有鉴于此, 本文将 三者结合起来, 提出基于理想解的 Vague 物元决策 方法, 为可拓理论在模糊环境下的决策支持提供新 第 31 卷 第 1 期 2009 年 1 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .31 No.1 Jan.2009 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2009.01.014
。124 北京科技大学学报 第31卷 的思路 ta(xi)-tB(xi)+fa(xi)-fB(xi) 4 1 Vague集基础知识 lt4(x)-g(x川+lfA(x)-fa(x山 (2) 定义设U是一个非空集合，它的元素用x 8 表示.U上的一个Vague集A是指U上的一对隶 Mz(A,B)的值越大，表示Vague集A和B越 属函数14和fA,即 相似.不难发现，当=1时，式(2)就是式(1). tA:U[0,刂，fA:U[0,], 2 Vague复合物元 满足t4(x)+fA(x)≤1，且0≤4(x)≤1,0≤ fa(x≤L.其中，t4为V ague集A的真隶属函数， 在可拓学中，物元是以事物、特征及事物关于该 表示支持x∈A的证据的隶属度下界；fA称为 特征的量值三者组成的有序三元组10，记为R= V ague集A的假隶属函数，表示反对x∈A的证据 (事物名称特征，量值)=(N,G,). 的隶属度下界. 假设事物N有n个特征，可表示为C={a, 设x∈U,称闭区间[ta(x),1一fa(x力为 c2,;cn}.特征G的取值y为Vague值[g,b] Vague集A在点x的Vague值.它同时表示了支持 (j=1,2,,n),则称R为n维Vague物元.如果 和反对x∈A的隶属程度.例如，A在点x的 m个事物的n维Vague物元组合在一起，则称为m Vague值ta(x),1-fa(x]=[0.5,0.8),则有 个事物的n维复合Vague物元，记为Rmm: 14(x)=0.5,1-fa(x)=0.8,f4(x)=0.2.此时 N1N2…Nm 可以解释为：元素x属于A的程度是0.5不属于 c1V11V21 Vml A的程度是0.2，对A的未知程度是03.在投票 C2V21V22 …Vm2 模型中被解释为：在10个投票人中，有5人赞成2 人反对，3人弃权.由此可见，集合A在点x的 CnLVn1 Vn2 Vmn Vague值[tA(x),I-fa(x力的内涵，比A在点x N1 N2 Nm 的Fuz四y值，即隶属函数值（隶属度）“(x)要丰富得 cI[an,bii] [a21,b2] …[aml,bml] 多 c2[a12,b1 [a22,b2 …[am2,bm 相似度量是研究和应用Vague集的重要工具. 2005年，周晓光等对Vague集（值）之间的相似度量 cnL[ain;bin]a2n,b2n] amn;bmnl 进行了回顾和比较，提出改进的V ague值度量方法 (3) 如下9 式中，Rmm为m个事物的n维复合Va照ue物元，N: 为了简化公式，设x和y为V ague值，tx和y 为第i个事物，v为第i个事物的第j个特征的量 分别表示x和y的真隶属函数，f和F分别表示x 值，其值为Vague值[a,b(i=L,2,；m: 和y的假隶属函数，则Vague值x和y的相似度可 =1,2,…,n. 表示为 Ma(x,y)=I---(-L 3基于理想解的Vague物元决策方法 8 l-+-_1:-|-（) 在理想解法中，PS是方案集中不一定存在的 4 8 虚拟的最佳方案，而NIS则是虚拟的最差方案.将 Mz(x,y)值越大说明Vgue值x和y越相似. 方案集中的方案物元与PS和NIS的距离进行比 设A和B为论域U={x1,x2,,xn}中的两 较，既靠近PS又远离NIS的方案就是最佳方案， 个Vague集，t4(x)和tg(xi)分别表示A和B的真 并据此排定方案集中各方案的优先序. 隶属函数，f4(x)和fB(x:)分别表示A和B的假 3.1确定Vague复合方案物元 隶属函数，i=1,2,,n,则Vague集A和B的相 假设有m个待评方案，需要根据n个指标进 似度可表示为： 行评价，可请专家对各备选方案的重要性进行评 Mz(A,B)= 价，专家意见可采用语言变量表示1”，如表1所示. 1--(- 根据表L,将专家意见转换为相应的V ague值， 则复合方案物元为：
的思路. 1 Vague 集基础知识 定义 设 U 是一个非空集合, 它的元素用 x 表示.U 上的一个 Vague 集 A 是指 U 上的一对隶 属函数t A 和 f A , 即 t A :U ※[ 0, 1] , f A :U ※[ 0, 1] , 满足 t A ( x ) +f A ( x ) ≤1, 且 0 ≤t A ( x ) ≤1, 0 ≤ f A( x ) ≤1 .其中, t A 为Vague 集 A 的真隶属函数, 表示支持 x ∈ A 的证据的隶属度下界;f A 称为 Vague 集 A 的假隶属函数, 表示反对 x ∈ A 的证据 的隶属度下界. 设 x ∈ U , 称闭区间[ t A ( x ), 1 -f A ( x )] 为 Vague 集 A 在点 x 的 Vague 值.它同时表示了支持 和反对 x ∈ A 的隶属程度.例如, A 在点 x 的 Vague 值为[ t A( x ), 1 -f A ( x )] =[ 0.5, 0.8] , 则有 t A( x ) =0.5, 1 -f A ( x ) =0.8, f A ( x ) =0.2 .此时 可以解释为:元素 x 属于 A 的程度是 0.5, 不属于 A 的程度是 0.2, 对 A 的未知程度是 0.3 .在投票 模型中被解释为 :在 10 个投票人中, 有 5 人赞成, 2 人反对, 3 人弃权 .由此可见, 集合 A 在点 x 的 Vague 值[ t A( x ), 1 -f A ( x )] 的内涵, 比 A 在点 x 的 Fuzzy 值, 即隶属函数值( 隶属度) μ( x )要丰富得 多. 相似度量是研究和应用 Vague 集的重要工具 . 2005 年, 周晓光等对 Vague 集(值)之间的相似度量 进行了回顾和比较, 提出改进的 Vague 值度量方法 如下 [ 9] . 为了简化公式, 设 x 和 y 为 Vague 值, t x 和 ty 分别表示 x 和 y 的真隶属函数, f x 和 f y 分别表示 x 和y 的假隶属函数, 则 Vague 值 x 和y 的相似度可 表示为: MZ( x , y ) =1 - t x -t y -( f x -f y ) 8 - t x -ty +f x -fy 4 - t x -ty + f x -f y 8 ( 1) MZ ( x , y )值越大, 说明 Vag ue 值 x 和y 越相似. 设 A 和B 为论域 U ={x 1, x 2, …, x n}中的两 个Vague 集, t A( x i)和 tB( x i)分别表示 A 和B 的真 隶属函数, f A( x i) 和 f B ( xi )分别表示 A 和 B 的假 隶属函数, i =1, 2, …, n , 则 Vague 集 A 和B 的相 似度可表示为: MZ ( A , B ) = 1-1 n ∑ n i =1 tA( xi) -tB( xi) -( f A( xi) -fB( xi)) 8 + t A( x i) -tB( x i) +f A ( xi) -fB ( xi) 4 + t A( x i) -tB( xi) + f A( x i) -f B( x i) 8 ( 2) MZ( A , B) 的值越大, 表示 Vague 集 A 和B 越 相似.不难发现, 当 i =1 时, 式( 2)就是式( 1) . 2 Vague 复合物元 在可拓学中, 物元是以事物 、特征及事物关于该 特征的量值三者组成的有序三元组[ 10] , 记为 R = (事物名称, 特征, 量值) =( N, C, V) . 假设事物 N 有 n 个特征, 可表示为 C ={c1, c2, …, cn}.特征 cj 的取值 vj 为 Vague 值[ aj , bj] ( j =1, 2, …, n) , 则称 R 为n 维 Vague 物元.如果 m 个事物的n 维Vague 物元组合在一起, 则称为 m 个事物的 n 维复合 Vague 物元, 记为 Rmn : N1 N 2 … N m R mn = c1 c2 cn v 11 v 21 … v m1 v 21 v 22 … v m2 v n1 v n2 … v mn = N 1 N2 … N m c1 c2 cn [ a11, b11] [ a21, b21] … [ am1, bm1] [ a12, b12] [ a22, b22] … [ am2, bm2] [ a1n , b1 n] [ a2n , b2 n] … [ amn , bmn] ( 3) 式中, Rmn为 m 个事物的 n 维复合 Vag ue 物元, Ni 为第 i 个事物, vij 为第 i 个事物的第 j 个特征的量 值, 其值为 Vague 值[ aij , bij] ( i =1, 2, …, m ; j =1, 2, …, n) . 3 基于理想解的 Vague物元决策方法 在理想解法中, PIS 是方案集中不一定存在的 虚拟的最佳方案, 而 NIS 则是虚拟的最差方案 .将 方案集中的方案物元与 PIS 和 NIS 的距离进行比 较, 既靠近 PIS 又远离 NIS 的方案就是最佳方案, 并据此排定方案集中各方案的优先序 . 3.1 确定 Vague 复合方案物元 假设有 m 个待评方案, 需要根据 n 个指标进 行评价 .可请专家对各备选方案的重要性进行评 价, 专家意见可采用语言变量表示[ 11] , 如表 1 所示. 根据表 1, 将专家意见转换为相应的 Vague 值, 则复合方案物元为 : · 124 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷
第1期 周晓光等：基于理想解的Vgue物元决策方法及其应用 125。 表1Vgue值表示的语言变量 S(N)的值越大方案N:越满足决策者的要求.式 Table I Language variable based on vague vahes (5)的出发点是真隶属函数比假隶属函数具有越多 等级 Grade 取值范围 典型Vgue值 的优势，越满足决策者的要求.用投票模型来解释 很好(VG) Very good (09.1 [09,09月 的话，就是在同样多的投票人群中，支持的人比反对 好(G) Good (085,09 [0.8.0g9 的人越多，说明这个方案越为人们所接受， 较好(FC) Fairly good (07,08月 [07,0.8) 例1若方案N1用Vague值表示为xN,= 中好(MG Medium good (06,08) [0.6.08周 [0.406,方案N2表示为xw,=[03,08,则 中等(M) Medium [05,05] [0.5.0月 S(N)=0.4-0.4=0,S(N2)=0.3-02=0.1. 中差(MP) M edium poor (045.06 [04.0可 故方案N2优于方案N1, 较差(FP) Fairly poor (03.04习 [03.043 然而，式(5)在遇到下面的情况时难以进行排 差( Poor (015,03 [0.2.03 序 很差(V Very poor [0,015 [01,0.1习 例2若方案N1用V ague值表示为xN,= N1N2 Nm [0.3,09,方案N2表示为xw,=[05,0刀，则 cIvu v2 S(N1=0.3-0.1=0.2,S(N2)=0.5-03= Vml 0.2,即S(N)=S(N2).因此，无法判断方案N1、 C2V21 V22 Rmn= Vm2 N2的优劣. 为此，Hong和Choi提出新的排序函数如 CnLVnl Vn2 .Vmn 下1： N1 N2 Nm H(N:)=tx+fN· (6) c1[a11,b1i][a21,b2] …[aml,bml] 式中，i=1,2,m,m为方案的个数：H(N)的 c2[a2,b12] 【a22,bzl …[am2,bm2] 值越大，方案N:越满足决策者的要求.式(6)的出 发点是己知信息越多，越满足决策者的要求.人们 CnL[ain,bin][a2n,b2nl …[amm,bm]J 在进行决策时，为了减少不确定性带来的影响，往往 (4) 希望已知信息越多越好， 其中，N:表示待评方案=1,2，m:9表示评 对例2，由式(6)有H(N)=0.3+0.1=0.4, 价指标=1,2，…，n. H(N2)=0.5十0.3=0.8.故方案N2优于方案 3.2确定Vgue理想物元 N1. 理想物元有两种：一种是绝对理想物元另一种 然而，式(5)和式(6)都没有考虑弃权部分对排 是相对理想物元.假设某一方案的所有指标值都达 序结果的影响，与实际情况不符.本文认为，V ague 到可行域的最优值，即为绝对正理想物元：若方案的 值的排序函数要充分考虑相对优势、己知信息的多 所有指标值都达到可行域的最差值，即为绝对负理 少和弃权部分三者的影响.据此，提出新的排序函 想物元.相对理想物元则是根据各方案的实际指标 数如下： 值来确定，由最佳实际指标值组成的物元为相对正 当tw一fN≠(-l≤k≤1)时， 理想物元由最差实际指标值组成的物元为相对负 O(N)=(tw-fw)(1十rN: 理想物元.绝对理想物元虽然容易确定，但在求解 当w一fw=k(-I1≤k≤1)时， 时不能根据实际情况变动；而且如果阈值设置不当， (7) 容易遗漏可行方案.根据Vague排序函数来确定相 O(Ni)=(tw+fw)(1+πN) 对理想物元. 式中，i=1,2,；m,m为方案的个数：O(N)的 Vague排序函数体现了方案对指标的合适程 值越大，方案N:越满足决策者的要求. 度，有时也将V ague值的排序函数称为记分函数或 根据Vague排序函数O(Ni),可将Vague方案 优势函数.Chen等提出的排序函数1？为： 物元改写为方案对指标的适合度物元Smm· S(Ni)=tN,-fN, v11 V21…Vm1 (5) V21 y22… Vm2 式中，i=1,2,m,m为方案的个数：1w表示方 Smn (8) 案的真隶属函数，表示方案的假隶属函数， LVn1Vn2…Vmn
表 1 Vague 值表示的语言变量 Table 1 Language variable based on vague values 等级 Grade 取值范围 典型 Vague 值 很好( VG) Very good ( 0.9, 1] [ 0.9, 0.95] 好( G) Good ( 0.85, 0.9] [ 0.8, 0.9] 较好( FG) Fairly good ( 0.7, 0.85] [ 0.7, 0.85] 中好( MG) Medium good ( 0.6, 0.8] [ 0.6, 0.8] 中等(M ) Medium [ 0.5, 0.5] [ 0.5, 0.5] 中差( MP) M edium poor ( 0.45, 0.6] [ 0.4, 0.6] 较差(FP) Fairly poor ( 0.3, 0.45] [ 0.3, 0.45] 差( P) Poor ( 0.15, 0.3] [ 0.2, 0.3] 很差( VP) Very poor [ 0, 0.15] [ 0.1, 0.15] N 1 N2 … N m Rmn = c1 c2 cn v 11 v 21 … v m1 v 21 v 22 … v m2 v n1 vn2 … vmn = N1 N 2 … N m c1 c2 cn [ a11, b11] [ a21, b21] … [ am1, bm1] [ a12, b12] [ a22, b22] … [ am2, bm2] [ a1 n, b1n] [ a 2n, b2n] … [ amn, bmn] ( 4) 其中, Ni 表示待评方案, i =1, 2, …, m ;cj 表示评 价指标, j =1, 2, …, n . 3.2 确定 Vague 理想物元 理想物元有两种 :一种是绝对理想物元, 另一种 是相对理想物元 .假设某一方案的所有指标值都达 到可行域的最优值, 即为绝对正理想物元;若方案的 所有指标值都达到可行域的最差值, 即为绝对负理 想物元.相对理想物元则是根据各方案的实际指标 值来确定, 由最佳实际指标值组成的物元为相对正 理想物元, 由最差实际指标值组成的物元为相对负 理想物元.绝对理想物元虽然容易确定, 但在求解 时不能根据实际情况变动 ;而且如果阈值设置不当, 容易遗漏可行方案.根据 Vague 排序函数来确定相 对理想物元. Vague 排序函数体现了方案对指标的合适程 度, 有时也将 Vague 值的排序函数称为记分函数或 优势函数 .Chen 等提出的排序函数[ 12] 为: S ( Ni) =tNi -fNi ( 5) 式中, i =1, 2, …, m, m 为方案的个数;tN i 表示方 案的真隶属函数, fN i 表示方案 的假隶属函数, S ( Ni) 的值越大, 方案 N i 越满足决策者的要求.式 ( 5) 的出发点是真隶属函数比假隶属函数具有越多 的优势, 越满足决策者的要求.用投票模型来解释 的话, 就是在同样多的投票人群中, 支持的人比反对 的人越多, 说明这个方案越为人们所接受 . 例 1 若方案 N 1 用 Vague 值表示为 x N 1 = [ 0.4, 0.6] , 方案 N2 表示为 xN 2 =[ 0.3, 0.8] , 则 S ( N 1) =0.4 -0.4 =0, S ( N 2) =0.3 -0.2 =0.1 . 故方案 N 2 优于方案 N 1. 然而, 式( 5) 在遇到下面的情况时难以进行排 序 . 例 2 若方案 N 1 用 Vague 值表示为 x N1 = [ 0.3, 0.9] , 方案 N2 表示为 xN 2 =[ 0.5, 0.7] , 则 S ( N 1) =0.3 -0.1 =0.2, S ( N2 ) =0.5 -0.3 = 0.2, 即 S ( N 1) =S ( N2 ) .因此, 无法判断方案 N1 、 N 2 的优劣 . 为此, Hong 和 Choi 提出 新的 排序 函 数如 下[ 13] : H( Ni) =tNi +fNi . ( 6) 式中, i =1, 2, …, m, m 为方案的个数;H( Ni) 的 值越大, 方案 Ni 越满足决策者的要求.式( 6)的出 发点是已知信息越多, 越满足决策者的要求 .人们 在进行决策时, 为了减少不确定性带来的影响, 往往 希望已知信息越多越好 . 对例 2, 由式( 6) 有 H( N1 ) =0.3 +0.1 =0.4, H( N2 ) =0.5 +0.3 =0.8 .故方案 N 2 优于方案 N 1 . 然而, 式( 5)和式( 6) 都没有考虑弃权部分对排 序结果的影响, 与实际情况不符.本文认为, Vague 值的排序函数要充分考虑相对优势、已知信息的多 少和弃权部分三者的影响 .据此, 提出新的排序函 数如下 : 当 tN i -f N i ≠k ( -1 ≤k ≤1) 时, O( Ni) =( tNi -f Ni ) ( 1 +πNi ) ; 当 tNi -f Ni =k ( -1 ≤k ≤1) 时, O( Ni) =( tN i +fN i )( 1 +πN i ) ( 7) 式中, i =1, 2, …, m, m 为方案的个数;O( Ni) 的 值越大, 方案 Ni 越满足决策者的要求 . 根据 Vague 排序函数 O( Ni), 可将 Vague 方案 物元改写为方案对指标的适合度物元 Smn . Smn = v 11 v 21 … v m1 v 21 v 22 … v m2 vn1 v n2 … v mn ( 8) 第 1 期 周晓光等:基于理想解的 Vague 物元决策方法及其应用 · 125 ·
。126 北京科技大学学报 第31卷 下面根据适合度物元来定义Vague正理想解 4案例 (vague positive-ideal solution,.记为VPIS)和Vague 负理想解(vague negative-ideal solut ion,.记为 假设某公司要招聘一个销售经理，经过前期筛 VNIS). 选，还有四个候选人需要进一步考察.这四个候选 设方=畏要，听=要功区区n,当评 人记为N1,N2、N3和N4,欲从中选出一个最优秀 价指标为效益型指标时， 的人来担任销售经理.考察的指标有工作经验、口 N=(rr,r2,..rn),NT=(ri;r2,.rn) 头表达能力、团队精神、个性、自信和领导能力，分别 (9) 记为c1c2C3、c4c5和c6.显然，这几个指标都是 当评价指标为成本型指标时， 效益型指标. N2=(ri,r2,;rm),N=(r1,r2,;rm) 4.1确定复合方案物元 (10) 本例有四个候选人，可看作四个待评方案，需要 则N所对应的方案物元的Vague值为VPIS,N 根据六个评价指标进行选择.首先请专家对各候选 所对应的方案物元的Vague值为VNIS. 人进行评价，专家意见可采用语言变量表示.根据 3.3确定指标权重 表L,将专家意见转换成相应的V ague值，则复合方 采用下面的方法确定各评价指标的权重：首先 案物元为： 选择一个最重要的指标，给此指标分配的分数为 Rmn= h,h>0.然后将其他指标跟此指标相比较，以确 N1 N2 N3 N4 定它们的得分.这样，可根据下面公式计算各指标 c1[0.7,0.751 [0.85.0.951 [0.8.0.9月 I0.9,0.951 的权重w. c2 [0.5.0.5] 【0.75.0.851【0.9.0.95 10.8.0.91 c3 {0.9,0.95] [0.5.0.5] [0.8.0.91 10.60.7 (11) c4 [0.8.0.91 [0.7,0.8] [0.75.0.851I0.5.0.6 c5[0.85.0.95[0.6.0.71 [0.75,0.851[0.9.0.951 3.4计算方案物元到理想物元的距离 c6L[0.7,0.8)[0.8,0.9] [0.4,0.51[0.5.0.5J 确定了各指标的权重和理想解后，便可根据 4.2确定VPIS和VNIS Vague集（值）的相似度量公式(1)计算各方案物元 根据式(7)，将Va照ue方案物元改写为方案对 与VPIS和VNIS的距离. 指标的适合度物元Smm: di= ∑wM:(Ra,VPIS,i=L,2m N1 N2 N3 N4 c10.47088 0.77 0.89 (12) c20 0.66 0.89 0.77 di 空wM.(VNISi=12与m c30.89 0 0.77 0.33 Smn- c40.770.550.66 0.11 (13) c50.880330.660.89 式中，d;表示方案物元i与VPIS的加权距离，d c6L0.55077-0.110」 表示方案物元i与VNS的加权距离，i=L,2,…, 由于本例中所有指标都是效益型指标，根据 7n。 式(9)，确定相对理想物元如下： 3.5计算各方案的贴近度 VPIS=([0.9,0.951,[0.9,0.9,[0.9,0.95, 计算完所有的d和d:后，根据它们计算各 [0.80.9,[0.9,0.95,[0.8,0.9y, 方案的相对贴近度σ(N;): NI=[0.7,0.75,[0.5,0.5],[05,0.5], di a(Ni)-i=2.m (14) [0.5,0.6,[0.6,07,[04.0.5). 4.3确定指标权重 3.6选择最佳方案 请专家对各指标打分，根据式(1)，确定各指标 σ(N)越大，表示方案N,越接近理想解N和 的权重如下： 远离负理想解Nˉ.因此，根据贴近度原则，可以给 w={0.184,0.204,0.163. 所有备选方案排序。 0122,0143.0.184}
下面根据适合度物元来定义 Vague 正理想解 ( vague positive-ideal solution, 记为 VPIS ) 和 Vague 负 理 想 解 ( vag ue negative-ideal solution, 记 为 VN IS) . 设 r ＊ j =max 1 ≤i ≤m vij , r - j = min 1 ≤i ≤m v ij , 1 ≤j ≤n , 当评 价指标为效益型指标时, N ＊ 1 =( r ＊ 1 , r ＊ 2 , …, r ＊ n ), N - 1 =( r - 1 , r - 2 , …, r - n ) ( 9) 当评价指标为成本型指标时, N ＊ 2 =( r - 1 , r - 2 , …, r - n ), N - 2 =( r ＊ 1 , r ＊ 2 , …, r ＊ n ) ( 10) 则 N ＊所对应的方案物元的 Vague 值为 VPIS, N - 所对应的方案物元的 Vague 值为 VNIS . 3.3 确定指标权重 采用下面的方法确定各评价指标的权重:首先 选择一个最重要的指标, 给此指标分配的分数为 hj , hj >0 .然后将其他指标跟此指标相比较, 以确 定它们的得分.这样, 可根据下面公式计算各指标 的权重 wj . wj = hj ∑ n j =1 hj ( 11) 3.4 计算方案物元到理想物元的距离 确定了各指标的权重和理想解后, 便可根据 Vague 集(值) 的相似度量公式( 1) 计算各方案物元 与 VPIS 和 VNIS 的距离 . d + i = ∑ n j =1 wjMz( Rmn, VPIS), i =1, 2, …, m ( 12) d - i = ∑ n j =1 wjMw ( R mn , VNIS), i =1, 2, …, m ( 13) 式中, d + i 表示方案物元 i 与 VPIS 的加权距离, d - i 表示方案物元i 与 VNIS 的加权距离, i =1, 2, …, m . 3.5 计算各方案的贴近度 计算完所有的 d + i 和 d - i 后, 根据它们计算各 方案的相对贴近度 σ( Ni) : σ( Ni) = d + i d + i +d - i , i =1, 2, …, m ( 14) 3.6 选择最佳方案 σ( Ni) 越大, 表示方案 Ni 越接近理想解N ＊和 远离负理想解 N -.因此, 根据贴近度原则, 可以给 所有备选方案排序. 4 案例 假设某公司要招聘一个销售经理, 经过前期筛 选,还有四个候选人需要进一步考察.这四个候选 人记为 N 1 、N 2 、N3 和 N 4, 欲从中选出一个最优秀 的人来担任销售经理 .考察的指标有工作经验、口 头表达能力 、团队精神 、个性 、自信和领导能力, 分别 记为 c1 、c2 、c3 、c4 、c5 和 c6 .显然, 这几个指标都是 效益型指标 . 4.1 确定复合方案物元 本例有四个候选人, 可看作四个待评方案, 需要 根据六个评价指标进行选择 .首先请专家对各候选 人进行评价, 专家意见可采用语言变量表示 .根据 表 1, 将专家意见转换成相应的 Vague 值, 则复合方 案物元为: Rmn = N1 N 2 N 3 N4 c1 c2 c3 c4 c5 c6 [ 0.7, 0.75] [ 0.85, 0.95] [0.8, 0.9] [ 0.9, 0.95] [ 0.5, 0.5] [ 0.75, 0.85] [ 0.9, 0.95] [ 0.8, 0.9] [ 0.9, 0.95] [ 0.5, 0.5] [0.8, 0.9] [ 0.6, 0.7] [ 0.8, 0.9] [ 0.7, 0.8] [0.75, 0.85] [ 0.5, 0.6] [ 0.85, 0.95] [ 0.6, 0.7] [0.75, 0.85] [ 0.9, 0.95] [ 0.7, 0.8] [ 0.8, 0.9] [0.4, 0.5] [ 0.5, 0.5] 4.2 确定 VPIS 和 VNIS 根据式( 7), 将 Vag ue 方案物元改写为方案对 指标的适合度物元 Smn : N1 N2 N 3 N 4 Smn = c1 c2 c3 c4 c5 c6 0.47 0.88 0.77 0.89 0 0.66 0.89 0.77 0.89 0 0.77 0.33 0.77 0.55 0.66 0.11 0.88 0.33 0.66 0.89 0.55 0.77 -0.11 0 . 由于本例中所有指标都是效益型指标, 根据 式( 9), 确定相对理想物元如下: VPIS=([ 0.9, 0.95] , [ 0.9, 0.95] , [ 0.9, 0.95] , [ 0.8, 0.9] , [ 0.9, 0.95] , [ 0.8, 0.9] ), VNIS=([ 0.7, 0.75] , [ 0.5, 0.5] , [ 0.5, 0.5] , [ 0.5, 0.6] , [ 0.6, 0.7] , [ 0.4, 0.5] ) . 4.3 确定指标权重 请专家对各指标打分, 根据式( 11), 确定各指标 的权重如下 : w ={0.184, 0.204, 0.163, 0.122, 0.143, 0.184}. · 126 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷
第1期 周晓光等：基于理想解的Vague物元决策方法及其应用 ·127。 44计算方案物元到理想物元的距离 1999,44(17:1538 根据式(12)和(13)计算各方案物元到VPIS和 [2 Yang G W.Zhang F S.Tu X Y.Decision making based on ex- VNS的距离，结果见表2. tension models of innovative ad creative thinking.Model/Meas Control D.2003.242):1 表2各方案到理想解的距离及相对贴近度 [3 Yang G W,Zhou X P,Tu X Y.Extensibility of the matter dle Table 2 Distanoes betw een scheme and ideal solut ion and their close- ment system and its applications.Adv Madell Anal A,2003.40 nes degree (1):23 候选人 d时 dr c(N,) 4 Cai W.Yang C Y,He B.Extension Logic.Beijing:Science PE55,2003 N 09230 08995 05064 (蔡文，杨春燕，何斌.可拓逻辑初步.北京：科学出版社， N2 09158 08969 05052 2003) N3 09321 08816 05139 [5 Cao SZ.Liu H P.Tu X Y.Multilayer multidimensional affair-eh Na 09102 08939 0.5045 ement extension set and its operations.J Univ Sci Technol Bei- jing,2007,29(6):641 45 计算各方案的贴近度 (曹少中，刘贺平，涂序彦.多层多维事元可拓集及其运算 根据式(14)计算各方案的相对贴近度σ(N:), 北京科技大学学报，2007.29(6：641) [6 Gau WL Buehrer D J.Vague sets.IEEE Trans Syst Man Cy- 如表2所示. em,1993.23(2):610 46选择最佳方案 [7 Bustince H.Burillo P.Vague sets are intuitionistic fuzzy sets. 由于相对贴近度c(N3>G(N1>G(N2> Fuzzy Sets Syst,1996.79:403 σ(N4),根据贴近度原则，可知候选人的排序为 [8 Hwang CL Yoon K.Multiple Attributes Decision Making N3>N1>N2>N4,故选择候选人N3作为销售经 Methods and Applications.Springer,Berlin Heideberg.1981: 12 理 9 Zhou X G,Zhang Q.Com parison and impmvement on similarity 5结论 measus between vague sets and bet w een dements.JSyst Eng, 2005.20(6):613 本文将物元理论和Vague集理论结合起来，提 (周晓光，张强。Vaue集（值）相似度量的比较和改进.系统 工程学报.2005.20(6)：613) 出基于理想解的Vague物元决策方法，为可拓理论 [10 Cai W.Yang C Y.Wang G H.A new cmss discipline Exter 在模糊环境下的决策提供了新的思路.定义了 ics.Sci Found China.2005,13(1):55 Vague复合方案物元，改进了Vague排序函数，并根 [11]Zhou X G.Zhang Q.Hu W B.Research on TOPSIS methods 据改进的排序函数定义Vague相对正理想物元和 based on vague set theory.J Sys Eng Theory Methodol Appl. 负理想物元，根据V ague值的相似度量计算各方案 2005.146:537 物元到理想物元的距离，得出各方案的贴近度，以此 (周晓光，张强，胡望斌.基于Vgue集的TOSS方法模 型.系统工程理论方法应用，2005,146：537) 选择最优方案.案例表明，本文提出的方法对模糊 【l]☑Chen S M,Tan JM.Handling multicriteria fwzy上isio-mak- 和不确定的决策问题具有较好的实用性. ing problems based on vague set theory.Fuzzy Sets Sys.1994. 67:163 参考文献 [13 Hong D H.Choi C H.Multicriteria fuzzy decision-making prob- lems based on vague set theory.Fuzzy Sets Syst.2000.114: [1]Cai W.Extension theory and its application.Chin Sci Bull. 103
4.4 计算方案物元到理想物元的距离 根据式( 12)和( 13)计算各方案物元到 VPIS 和 VN IS 的距离, 结果见表 2 . 表 2 各方案到理想解的距离及相对贴近度 Table 2 Dist ances betw een scheme and ideal solution and their closeness degree 候选人 d + i d - i σ( Ni ) N1 0.923 0 0.899 5 0.506 4 N2 0.915 8 0.896 9 0.505 2 N3 0.932 1 0.881 6 0.513 9 N4 0.910 2 0.893 9 0.504 5 4.5 计算各方案的贴近度 根据式( 14)计算各方案的相对贴近度 σ( Ni ), 如表 2 所示. 4.6 选择最佳方案 由于相对贴近度 σ( N3 ) >σ( N1 ) >σ( N2) > σ( N 4), 根据贴近度原则, 可知候选人的排序为 N3 N1 N 2 N 4, 故选择候选人 N3 作为销售经 理. 5 结论 本文将物元理论和 Vague 集理论结合起来, 提 出基于理想解的 Vague 物元决策方法, 为可拓理论 在模糊环境下的决策提供了新的思路 .定义了 Vague 复合方案物元, 改进了 Vague 排序函数, 并根 据改进的排序函数定义 Vague 相对正理想物元和 负理想物元, 根据 Vague 值的相似度量计算各方案 物元到理想物元的距离, 得出各方案的贴近度, 以此 选择最优方案.案例表明, 本文提出的方法对模糊 和不确定的决策问题具有较好的实用性 . 参 考 文 献 [ 1] Cai W.Ext ension theory and its application.Chin S ci Bu ll, 1999, 44( 17) :1538 [ 2] Yang G W, Zhang F S, Tu X Y .Decision making based on extension models of innovative and creative thinking .Modell Meas Control D, 2003, 24( 2) :1 [ 3] Yang G W, Zhou X P, Tu X Y .Ext ensibility of the matt er element system and its applications.Ad v Modell Ana l A , 2003, 40 ( 1) :23 [ 4] Cai W, Yang C Y, He B.Extension Logi c.Beijing :S cience Press, 2003 ( 蔡文, 杨春燕, 何斌.可拓逻辑初步.北京:科学出版社, 2003) [ 5] Cao S Z, Liu H P, T u X Y .Multilayer multidimensional affair-element ext ension set and its operations.J Un iv Sci Technol Beijing , 2007, 29( 6) :641 ( 曹少中, 刘贺平, 涂序彦.多层多维事元可拓集及其运算. 北京科技大学学报, 2007, 29( 6) :641) [ 6] Gau W L, Buehrer D J.Vague sets.IEEE Trans S yst Man Cybern , 1993, 23( 2) :610 [ 7] Bustince H, Burillo P .Vague sets are intuitionistic fuzzy sets. F uzz y Sets Syst, 1996, 79:403 [ 8] Hwang C L, Yoon K .Mu ltiple Attributes Decision Making Methods a nd Applications.Springer, Berlin Heidelberg, 1981: 12 [ 9] Zhou X G, Zhang Q.Com parison and improvemen t on similarit y measu res between vague sets and betw een elements.J Syst Eng , 2005, 20( 6) :613 ( 周晓光, 张强.Vague 集( 值) 相似度量的比较和改进.系统 工程学报, 2005, 20( 6) :613) [ 10] Cai W, Yang C Y, Wang G H .A new cross discipline:Extenics.S ci Found China, 2005, 13( 1) :55 [ 11] Zhou X G, Zhang Q, Hu W B.Research on TOPSIS methods based on vague set theory .J Syst Eng Theory Methodol App l, 2005, 14( 6) :537 (周晓光, 张强, 胡望斌.基于 Vague 集的 TOPS IS 方法模 型.系统工程理论方法应用, 2005, 14( 6) :537) [ 12] Chen S M, Tan J M .Handling multicriteria fuzzy decision-making problems based on vague set theory .Fuzzy Sets Syst , 1994, 67:163 [ 13] Hong D H, C hoi C H .Multicriteria fuzzy decision-making problems based on vague set theory .Fuzzy Sets S yst, 2000, 114: 103 第 1 期 周晓光等:基于理想解的 Vague 物元决策方法及其应用 · 127 ·