记-A1A2=(B,B2…,Bn),这里B,(i=12,…,n-r)为r维列向量。 显然,x2可以是任意的n-r维向量,所以方程组的解x有无穷多个。如取x2分 别为n-F维向量e1,e2,…,en(e的第i个分量为1,其余为0,i=1,2,…n-F 由定理4.4.2,可得到一组线性无关的解 (4.64) 对方程组的任意一个解x= 记相应的x=5:,即x2=>5,于 A1A12 5e1 ∑ B 所以,x能够由(4.64)线性表示。 定义4.6.1若n维向量组x),x(2)…,xP满足 (1)每一个向量x都是齐次线性方程组Ax=0的解(i=1,2,…,p); (2)向量组x,x(2),…,x(P线性无关 (3)齐次线性方程组Ax=0的任意一个解都能够用x,x(2),…,xP线性表 示,则称x),x2)…,xP为方程组Ax=0的一个基础解系,而称 = C (c是任意常数,i=1,2…,p 为方程组Ax=0的通解。 显然,求出了基础解系,就完全清楚了解的结构(要注意的是,x2不一定 取为e1,e2,…,en,也就是说,基础解系的形式是不唯一的 综合以上推导便得到: 定理4.6.2设A是m×n矩阵,其秩为r(r<n)。那么齐次线性方程组 Ax=0 的每个基础解系中恰有n-r个解x"),x(2)…,x(mn),而且该方程组的任何一个解 x都可以表为 其中c;(i=1,2,…,n-r)是常数。 推论4.6.2设A是m×n矩阵,则齐次线性方程组 Ar=0 当rank(A)=n时只有唯一解x=0;当rank(4)<n时有无穷多组解。 从以上推导中可以看出,当r=rank(4<n时,为求方程Ax=0的基础解系 可先用初等行变换将它的系数矩阵化为(必要时要交换列的位置)记 ( , , , ) 12 1 2 1 11 nr   A A  β β  β ，这里 βi （ i 1, 2,  , n  r ）为 r 维列向量。 显然， 2 x 可以是任意的 nr 维向量，所以方程组的解 x 有无穷多个。如取 2 x 分 别为 nr 维向量 1 e ，2 e ，„， nr e （ i e 的第 i 个分量为 1，其余为 0，i 1, 2,  , n  r ）， 由定理 4.4.2，可得到一组线性无关的解  (1) x         1 1 e β ，  (2) x         2 2 e β ，„，  (nr) x           n r n r e β 。 （4.6.4） 对方程组的任意一个解          2 1 x x x ，记相应的 x2                 nr    2 1 ，即 x2     n r i i i 1  e ，于 是           n r I A A12 1 11          n r i i i 1  e     n r i i 1                    i n r e I A A12 1 11     n r i i 1          i i e β ( ) 1 i n r i  i x     ， 所以，x 能够由（4.6.4）线性表示。 定义 4.6.1 若 n 维向量组 (1) (2) ( ) , , , p x x  x 满足 （1）每一个向量 (i) x 都是齐次线性方程组 Ax  0 的解（ i 1, 2,  , p ）； （2）向量组 (1) (2) ( ) , , , p x x  x 线性无关； （3）齐次线性方程组 A x = 0 的任意一个解都能够用 (1) (2) ( ) , , , p x x  x 线性表 示，则称 (1) (2) ( ) , , , p x x  x 为方程组 A x = 0 的一个基础解系，而称   p i i i c 1 ( ) x x （ i c 是任意常数， i 1, 2,  , p ） 为方程组 A x = 0 的通解。 显然，求出了基础解系，就完全清楚了解的结构（要注意的是， 2 x 不一定 取为 1 e ， 2 e ，„， nr e ，也就是说，基础解系的形式是不唯一的）。 综合以上推导便得到： 定理 4.6.2 设 A 是 mn 矩阵，其秩为 r （ r  n ）。那么齐次线性方程组 Ax  0 的每个基础解系中恰有 nr 个解 (1) (2) ( ) , , , nr x x  x ，而且该方程组的任何一个解 x 都可以表为     n r i i i c 1 ( ) x x ， 其中 i c （ i 1, 2,  , n  r ）是常数。 推论 4.6.2 设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程组 Ax  0 当 rank(A)  n 时只有唯一解 x  0；当 rank(A)  n 时有无穷多组解。 从以上推导中可以看出，当 r  rank(A)  n 时，为求方程 A x = 0 的基础解系， 可先用初等行变换将它的系数矩阵化为（必要时要交换列的位置）