Ax=0 的解存在且唯一(即只有零解)的充分必要条件是: 即A是列满秩的 推论4.6.1若齐次线性方程组Ax=0中的方程个数少于未知量个数(即 m<n),则其必有非零解 当A不是列满秩时,设rank(A)=r<n,由定理45.3,存在A的一个r阶 子式不等于零,不妨设 a a21a2 0 a 否则只要进行适当的行交换或列交换就可以了(行交换相当于交换方程的次序 而列交换相当于交换变量的次序,这与原方程是同解的)。于是,A的前r行是 极大无关组,可以由它们的线性组合表出第r+1,r+2,…,m行,因此原方程组 (461)与其前r个方程构成的方程组 a21x1+a2x2+…+a2x,+a2+x,+…+a2nxn=0 (4.6.2) an1x+a2x2+…+a,x+an灬1x1+…+amxn=0 同解(请读者考虑为什么)。将其改写为 n1x1+a12x2 x =-aIr+X, a21x1+a22x2+…+a2xxr=-a2x+x+1-…-a2nxn (463) arIx,tar2x2t.+arrx, =-arr+rr+ a rr+2 则方程组(463)可以写成 ,= 因此得到 A,A 于是,只要确定了x2,就唯一确定了xAx  0 的解存在且唯一（即只有零解）的充分必要条件是： rank ( A )  n， 即 A 是列满秩的。 推论 4.6.1 若齐次线性方程组 Ax  0 中的方程个数少于未知量个数（即 m n ），则其必有非零解。 当 A 不是列满秩时，设 rank ( A )  r  n ，由定理 4.5.3，存在 A 的一个 r 阶 子式不等于零，不妨设 0 1 2 21 22 2 11 12 1  r r rr r r a a a a a a a a a       ， 否则只要进行适当的行交换或列交换就可以了（行交换相当于交换方程的次序， 而列交换相当于交换变量的次序，这与原方程是同解的）。于是， A 的前 r 行是 极大无关组，可以由它们的线性组合表出第 r 1, r  2,  ,m 行，因此原方程组 （4.6.1）与其前 r 个方程构成的方程组                                   0 0, 0, 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x        （4.6.2） 同解（请读者考虑为什么）。将其改写为                                   . , , 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x        （4.6.3） 记                r r r r r r a a a a a a a a a       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 A1 1 ， A12                      r r r r rn r r n r r n a a a a a a a a a       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ， x1                r x x x  2 1 ， x2                  n r r x x x  2 1 。 则方程组（4.6.3）可以写成 A11 x1  A12 2 x ， 因此得到          2 1 x x x           n r I A A12 1 11 2 x 。 于是，只要确定了 2 x ，就唯一确定了 x