第3期 宫小芳：解析函数的等价刻画及其应用 331 U。='。,U%=-' 由z。在D中任意性可知：对z=(x,y)∈D,都有 U.=',U,=-Vx 在区域D内任一点可微易知：U(x,y,V(x,y)在D内可微。 故∫(z)若满足条件(1)，则f(z)必满足条件(2)。 (2)→(1)： 证明：设f(z)=J(x,y)+iV(x,y),任取D。 U(x,y),V(x,y)在(x,yo)处可微， a=U6xy-U0k,.)=0Ar+aUA △x+ y+△(e->0,→0) 同理： AV=(x,y)-V(x,) aAr+a 4y+7△z7-→0，△2→0) 由C-R方程得： f(2+)-f(2o)=AU+i4y= auav (△x+iy)+n△z 其中7'=8+i7(△z-→0)。 :▣@f存在且f代)-品+ aU.av -+i △z ·.f(z)满足条件(I)。 上面给出了解析函数的等价定义及其证明，下面给出它的性质的应用。 2解析函数的应用 代数基本定理是高等代数中一个重要定理，由于它的纯代数方法的证明很复杂，因此， 一般的高等代数的教材中都没有给出证明。但从复变函数论的教材中，大多数教材是利用 Liouville定理和Rouche定理来证明，本文利用解析函数的性质，得到几种新的定理证明， 首先给出代数基本定理：设Pn(z)=az”+a,z”+…+an为一个n次多项式，其中 a。≠0，n∈N,则Pn(z)在复平面C上至少存在一个零点。 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net第 3 期 宫小芳: 解析函数的等价刻画及其应用 331