Bose- Instein凝结(复旦大学物理系,孙鑫,2003.8) 当粒子相互碰撞时,动量为p和p'的两个粒子,在碰撞后,动量变为k和k', 见图21.如果,在碰撞前,动量为p和p'上的粒子数分别为an和an,经过碰 撞,体系的状态要变化 对于经典粒子,碰撞所引起的状态变化几率WC正比于碰撞前的粒子数an和 v’与碰撞后的粒子数无关,即 W (2.2) 对于量子情况,如前所述,由于全同粒子不可能分辨,对粒子不能加以编号, 一种状态就是一种分布,可写为W2=1anan…a…a4…),它表示在动量为p, p,k和k上的粒子数分别为an,ana和a4个,其它动量上的粒子数未明 显写出.V是碰撞前的状态.当两个粒子发生碰撞时,动量从P和p'变为k和k’, 其状态变为vy=1.an-1an-1a4+1a4+1)该碰撞过程相当于,动量为 p和p'的粒子各减少了一个,动量为k和k的粒子各增加了一个.用b表示湮灭 算符,用b表示产生算符,上述的碰撞过程可写成(Vbbw)·粒子碰撞 引起状态变化,几率正比于上述短阵元的平方,即Nbv)·对 于Boe粒子,有b…an)=n…an-1),l…n)=Vl4 +1.a4+1.), 于是 H2vbw》=a+1)a+ (23) 此式说明,当碰撞引起状态变化时,变化几率W不但正比于碰撞前的粒子数 anan,而且正比于碰撞后的粒子数(a+1)(a-+1).这就是说,如果在某动量k上 的粒子数比其他动量上的粒子数多,则碰到该动量上的几率就大于碰到其它动量 上的几率,于是,在该动量上会聚集愈来愈多的粒子,这就是全同粒子不可分辨 性(量子效应)所带来的聚集倾向 上面只考虑了量子效应而没有考虑温度.考虑到温度后,由于热运动,在高 温下,粒子可进入能量高的状态,基态上的粒子不多.温度降低时,愈来愈多的 粒子进入低能量状态,降到某一温度η,零动量上就发生了凝结.10 Bose-Einstein 凝结（复旦大学物理系，孙鑫，2003. 8） 当粒子相互碰撞时，动量为 p 和 p′的两个粒子，在碰撞后，动量变为k 和k′， 见图 2.1．如果，在碰撞前，动量为 p 和 p′上的粒子数分别为 p a 和ap′，经过碰 撞，体系的状态要变化． 对于经典粒子，碰撞所引起的状态变化几率WC 正比于碰撞前的粒子数 p a 和 ap′，与碰撞后的粒子数无关，即 WC ∝ apap′． (2.2) 对于量子情况，如前所述，由于全同粒子不可能分辨，对粒子不能加以编号， 一种状态就是一种分布，可写为ψ i = KapKap′Kak Kak′ K ，它表示在动量为 p ， p′，k 和k′上的粒子数分别为 p a ，ap′，ak 和 ak′ 个，其它动量上的粒子数未明 显写出．ψ i是碰撞前的状态．当两个粒子发生碰撞时，动量从 p 和 p′变为k 和k′， 其状态变为ψ f = Kap −1Kap′ −1Kak +1Kak′ +1K ．该碰撞过程相当于，动量为 p 和 p′的粒子各减少了一个，动量为k 和k′的粒子各增加了一个．用b ˆ 表示湮灭 算符，用 + b ˆ 表示产生算符，上述的碰撞过程可写成 f i ψ bk bk bpbp′ψ + ′ ˆ+ ˆ ˆ ˆ ．粒子碰撞 引起状态变化，几率WQ正比于上述矩阵元的平方，即 2 ˆ ˆ ˆ ˆ WQ ψ f bk bk bpbp′ ψ i + ′ + ∝ ．对 于 Bose 粒子，有b ˆ p KapK = ap Kap −1K ，b ˆ k + KapK = ak +1 Kak +1K ， 于是 ( )( ) 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ∝ ′ = ′ + ′ + + ′ + WQ ψ f bk bk bpbp ψ i apap ak ak ． (2.3) 此式说明，当碰撞引起状态变化时，变化几率WQ 不但正比于碰撞前的粒子数 apap′，而且正比于碰撞后的粒子数( +1)( +1) ak ak′ ．这就是说，如果在某动量k 上 的粒子数比其他动量上的粒子数多，则碰到该动量上的几率就大于碰到其它动量 上的几率，于是，在该动量上会聚集愈来愈多的粒子，这就是全同粒子不可分辨 性（量子效应）所带来的聚集倾向． 上面只考虑了量子效应而没有考虑温度．考虑到温度后，由于热运动，在高 温下，粒子可进入能量高的状态，基态上的粒子不多．温度降低时，愈来愈多的 粒子进入低能量状态，降到某一温度Tc ，零动量上就发生了凝结．