230 高等数学重点难点100讲 而l= idr I1=l0,I2=2l0,l3=3l2=3·2·l i=n·(n-1)…3·2·1lo=n!lo=n! (2)令x=tant,则 c+1=/ ∫a半 sec tdt sec't 2)!! 例6当为何值时,广义积分,n收做?当k为何值时该广义积分发散?又当 k为何值时,该广义积分取得最小值? dInx 解k≠1时,I= 2 x(nx) (nx) [(nx)1-]2 lim[ lim ( (ln2) x+∞ x+∞ 1 (ln2)1-k,k>1 十∞,k<1 (1n2)Q,h、:z(mx)2收敛,当k≤1时,该广义积分发 当k=1时,I 2 Inr= [In(Inx)]*= lim [In Inr -In In2]=+ 故当k>1时,广义积分 设f(k) (ln2)1 k >1),则 f'(k) lnln2·(k-1)-(hn2)1-(ln2)-[(1-knln2-1] (k一1) (k-1)2 令()=0,得驻点k=1-mnhn2,且当<k时,f()<0:当k>k时,广(k)>0.从 而k=k=1-nn2’2x(lnx dx取得极小,也是最小值 、广义积分的判敛 我们曾考察过这样两个广义积分并得出结论: (1)「1dz(a>0),当p>1时收敛,当p≤1时发散 (2) dx,当q<1时收敛,当q≥1时发散 a 这是广义积分中的两个基本结论,常常在判定广义积分的收敛性时用到.比如,用结论 (1)可以判定积分 ∫:+xd(p>1,.”n+,小+=ax等收效因为 积分中分母与分子原幂次之差分别为P,2,2,均大于1;而积分 -dx(p< 1) x+x+1dz等发散,因为分母与分子的幂次之差分别为p,1,均小于或等于1,对于无 界函数的广义积分在应用结论(2)时也有类似的结果. 一般地,广义积分的判敛有两种方法:①直接法,即由敛散性的定义判别(例1~例6用 的就是直接法);②间接法,即由下面的判别准则判别(大多数情况下用准则判别) 准则1设函数∫(x)在区间[a,+∞)(a<0)上连续,且f(x)≥0.如果存在常数M >0及P>1,使得f()≤%(a≤x<+∞),则f(xdx收做如果存在常数N>0