第64讲广义积分 229 dr arc tanr x2(1+x) (1+x公dx; 3)'Insinzdxp dx 解(1 1x(1+x) 1+x )dx [In(1 r)-Inx n x“=1-n2 广义积分的计算技巧与定积分类似,但应注意两点:①将被积函数分拆成若干个部分 的和(差)时,积分不能分拆成若干个积分的和(差),否则可能会从一个收敛的广义积分中 分拆出发散的广义积分(这是为什么?请参看第10讲)如本题:原式 2(1+x) dx收敛, ∞ 但 dx及 dx均发散.②对广义积分的原函数在上下限的取值有时可以 直接得到,有时需要通过求极限才能得到 (2)令x=tant,则可化为常义积分 o(1 +x2)sedr=/ arctan sec2tdt =tcos tdt o sec 5t 令u=t,dv= cos tdt,则v=sint-sin2t,于是 原式=[(sin-3in) sinto sin'tdt 0 +[cost _20 +(0-1)+÷= (3)本题x=0是被积函数的瑕点,利用第62讲公式10,则有 In sinrdx ='[lnsinz Incos r ]dr='In(sin.cosr)dr = (nsin 2x -In2)dx nsin2rdx -=In2 令2x=t,则nin2dx=| Insist dt. 1 2/h n sin.rdr I, 故r=1-xln2,即I=-Dm2 本题虽然是广义积分,却没有用定义判别,而是利用代换,产生循环,得出结果 (4)显然x=1是被积函数的瑕点,令x=sect则积分转化为常义积分 secttanyd. costdt sint/=v3 sect·tant 例5利用递推公式计算: 1)I x"e-“d (2)In (x2+1) (n为正整数 解(1)In= rd(e-)=[-xe-‘]+n Edx lim[--+0]+nI,-1 即有递推公式