银川能源学院《高签激学》救案 第一童函数、极限与连然 在。 x-1 x<0 例7 函数fx)= 0 x=0当x→0 x+1 x>0 时的极限不存在。 这是因为， 0f=w-=-1, lim f(x)=lim (x+1)=1, x-0 limf(x)≠limf(x). x0 x04 三、函数极限的性质 定理1（函数极限的唯一性） 如果极限imf(x)存在，那么这极限唯一. X￥x 定理2（函数极限的局部有界性） 如果x)→A(Gx→x0),那么存在常数b0和6使得当0<r-xo水k6时，有 fx)<M. 证明因为x)→A(x→xo),所以对于ε=1,30，当0<x-xok6时，有 x)-AKs=1, 于是 x)=x)-A+Asx)-A+4K1+4. 这就证明了在xo的去心邻域{x0<x-xok6}内，x)是有界的 定理3（函数极限的局部保号性） 如果x)→Ax→xo),而且A>0(或A<0),那么存在常数0，使当0<x-xok6 时，有x)>0(或x)<0) 证明：就A>0的情形证明. 因为mf)=4,所以对于6=，36>0，当0-xw水6时，有 V4k6=号→4)→f>0. 定理3 如果x)→A(x→xo)(A0),那么存在点x的某一去心邻域，在该邻域内，有 lf()1l. 推论如果在xo的某一去心邻域内x)≥0（或x)s0),而且x)→A(x→xo), 那么A≥0（或A≤0）. 证明：设x)≥0.假设上述论断不成立，即设A<0,那么由定理1就有x0的 某一去心邻域，在该邻域内x)<0,这与几x)20的假定矛盾.所以A20. 定理4（函数极限与数列极限的关系） 如果当x→o时x)的极限存在，{xm}为x)的定义域内任一收敛于xo的数 列，且满足xm≠xo(n∈N),那么相应的函数值数列{fxm)}必收敛，且 第16页银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 16 页 在。 例 7 函数           1 0 0 0 1 0 ( ) x x x x x f x 当 x0 时的极限不存在 这是因为 lim ( ) lim ( 1) 1 0 0        f x x x x  lim ( ) lim ( 1) 1 0 0        f x x x x  lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x       三、函数极限的性质 定理 1(函数极限的唯一性) 如果极限 lim ( ) 0 f x xx 存在 那么这极限唯一 定理 2(函数极限的局部有界性) 如果 f(x)A(xx0) 那么存在常数 M0 和  使得当 0|xx0| 时 有 |f(x)|M 证明 因为 f(x)A(xx0) 所以对于 1 0 当 0|xx0| 时 有 |f(x)A| 1 于是 |f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A| 这就证明了在 x0 的去心邻域{x| 0|xx0| }内 f(x)是有界的 定理 3(函数极限的局部保号性) 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么存在常数0 使当0|xx0| 时 有 f(x)0(或 f(x)0) 证明 就 A0 的情形证明 因为 f x A x x   lim ( ) 0  所以对于 2 A     0 当 0|xx0| 时 有 2 | ( ) | A f x  A   ( ) 2 f x A A   2 ( ) A f x  0 定理 3 如果f(x)A(xx0)(A0) 那么存在点x0的某一去心邻域 在该邻域内 有 | | 2 1 | f (x)| A  推论 如果在 x0 的某一去心邻域内 f(x)0(或 f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么 A0(或 A0) 证明 设 f(x)0 假设上述论断不成立 即设 A<0 那么由定理 1 就有 x0的 某一去心邻域 在该邻域内 f(x)0 这与 f(x)0 的假定矛盾 所以 A0 定理 4(函数极限与数列极限的关系) 如果当 xx0 时 f(x)的极限存在 {xn}为 f(x)的定义域内任一收敛于 x0的数 列 且满足 xn x0(nN  ) 那么相应的函数值数列{f(x n)}必收敛 且 y yx1 1 1 yx1  x