银川能源学院《高签激学》救集 第一童函数、极限与连缕 证明：因为6>0，&626=气，当0<-lk6时，有 /x)-A=l(2x-1)-1=2x-1k6, 所以lim(2x-l)=1. 例5.证明m2- 72. 分析：注意函数在x=1是没有定义的，但这与函数在该点是否有极限并无 关系. 当1时，xA-2=-V6>0,要使水6，只-k6. 证明：因为v6>0,3c,当0s-k6时，有2引=-ke, 所以一合2 单侧极限： 若当x→x0时，x)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数x)当x→x0 时的左极限，记为imfx)=A或几x。)=A; 若当x→x0时，x)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数x)当x→x0 时的右极限，记为mfx)=A或几x)=A. x→x0 讨论：1.左右极限的ε-6定义如何叙述？ 2.当x→xo时函数x)的左右极限与当x→xo时函数x)的极限之间的关系 怎样？ 提示：左极限的ε-6定义： lim.fx)=A台Vε>0,36>0，x:x0-x<xo,有x)-AK8. x-o lim f(x)=A台Vε>0,36>0，x:xo<x<xo+δ，有/x)-AK8. x- lmfx)=A台lim f(x)=A且lim f(x)=A. x- 例6判断当x→0时，函数)=国的极限不存在。 10 解：注意到当x→0时，y=-xx>0时=x,所以 m.f)=lm二-lmfx)=mx=L 0 x-→0°X x20 x→0°X 由于mf≠m,所以，当x→0时，函数-国的极限不存 x→0 x0 1 第15页银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 15 页 证 明  因 为  0  /2 2     当 0|x1| 时  有 |f(x)A||(2x1)1|2|x1|  所以 lim(2 1) 1 1    x x  例 5 证明 2 1 1 lim 2 1     x x x  分析 注意函数在 x1 是没有定义的 但这与函数在该点是否有极限并无 关系 当 x1 时 |f(x)A| 2| 1 1 | 2     x x |x1|  0 要使|f(x)A|  只要|x1|  证明 因为 0   当 0|x1| 时 有| f(x)A| 2| 1 1 | 2     x x |x1|  所以 2 1 1 lim 2 1     x x x  单侧极限 若当 xx0  时 f(x)无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函数 f(x)当 xx0 时的左极限 记为 f x A x x    lim ( ) 0 或 f( 0 x  )A  若当 xx0  时 f(x)无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函数 f(x)当 xx0 时的右极限 记为 f x A x x    lim ( ) 0 或 f( 0 x  )A  讨论1左右极限的   定义如何叙述? 2 当 xx0 时函数 f(x)的左右极限与当 xx0 时函数 f(x)的极限之间的关系 怎样? 提示 左极限的  -- 定义： f x A x x    lim ( ) 0  0  0 x x0xx0 有|f(x)A|<  f x A x x    lim ( ) 0  0  0 x x0xx0  有|f(x)A|<  f x A x x   lim ( ) 0  f x A x x    lim ( ) 0 且 f x A x x    lim ( ) 0  例 6 判断当 x 0 时，函数 x x f (x)  的极限不存在。 解：注意到当 x 0 时， x  x; x  0时，x  x ，所以 lim ( ) lim 1, 0 0         x x f x x x lim ( ) lim 1, 0 0       x x f x x x 由于 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x      ，所以，当 x 0 时，函数 x x f (x)  的极限不存