银川能源学院《高签激学》救案 第一童函数、极限与连缕 直线=0是函数y=的水平渐近线。 一般地，如果mfx)=c,则直线=c称为函数=x)的图形的水平渐近线 I- 二、x→石时函数的极限 通俗定义： 如果当x无限接近于xo,函数x)的值无限接近于常数A,则称当x趋于 0时，x)以A为极限.记作mx上A或x)→A(当x→x) 分析：在x→xo的过程中，x)无限接近于A就是x少-A能任意小，或者 说，在x与xo接近到一定程度（比如x-xok66为某一正数）时，x少-A可以小于 任意给定的（小的）正数6，即x)-AK6.反之，对于任意给定的正数ε，如果x 与xo接近到一定程度（比如r-xok6,δ为某一正数）就有优x)4A<ε，则能保证当x xo时，x)无限接近于A. 定义1设函数x)在点和的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对 于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数6，使得当x满足不等式 0<r-xokδ时，对应的函数值x)都满足不等式x)-A<6, 那么常数A就叫做函数x)当x→xo时的极限，记为 1imfx)=A或x)->A(当x-→xo). x→0 定义的简单表述： lim f(x)=A台H>0,30,当0<r-xokò时，x)-Ak8. 函数极限的几何意义： 例2.证明limc=c. 0 证明：这里x)-A=c-c=0, 因为V>0,可任取0，当0<x-x06时，有 x)-A=lc-c=0<6, 所以limc=c. x+0 例3证明limx=o. Xo 分析：x-A=r-xol.因此∀e>0,要使x-Ak&,只要r-xoke. 证明：因为V>0,36=6，当0<-xok6时，有x)A=k-xok,所以 lim x=Xo. 例4.证明lim(2x-1)=1. Y 分析：x-A=(2x-1)-1=2x-1. 6>0,要使x4k6,只要x-lk 第14页银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 14 页 直线 y0 是函数 x y 1  的水平渐近线 一般地 如果 f x c x   lim ( )  则直线 yc 称为函数 yf(x)的图形的水平渐近线 二、xx0时函数的极限 通俗定义 如果当 x 无限接近于 x0  函数 f(x)的值无限接近于常数 A 则称当 x 趋于 x0 时 f(x)以 A 为极限 记作 0 lim xx f(x)A 或 f(x)A(当 x 0 x ) 分析 在 xx0 的过程中 f(x)无限接近于 A 就是|f(x)A|能任意小 或者 说 在 x 与 x0 接近到一定程度(比如|xx0|  为某一正数)时 |f(x)A|可以小于 任意给定的(小的)正数   即f(x)A|  反之 对于任意给定的正数   如果 x 与x0接近到一定程度(比如|xx0| 为某一正数)就有|f(x)A|  则能保证当x x0 时 f(x)无限接近于 A 定义 1 设函数 f(x)在点 x0 的某一去心邻域内有定义 如果存在常数 A 对 于任意给定的正数  (不论它多么小) 总存在正数  使得当 x 满足不等式 0<|xx0| 时 对应的函数值 f(x)都满足不等式 |f(x)A|  那么常数 A 就叫做函数 f(x)当 x x0 时的极限 记为 f x A x x   lim ( ) 0 或 f(x)A(当 xx0) 定义的简单表述 f x A x x   lim ( ) 0 0 0 当 0|xx0|时 |f(x)A|  函数极限的几何意义: 例 2 证明 c c x x   0 lim  证明 这里|f(x)A||cc|0 因为0 可任取 0  当 0|xx0| 时 有 |f(x)A||cc|0 所以 c c x x   0 lim  例 3 证明 0 0 lim x x x x    分析 |f(x)A||xx0| 因此 0 要使|f(x)A|  只要xx0|  证明 因为 0    当 0|xx0| 时 有|f(x)A||xx0|  所以 0 0 lim x x x x    例 4 证明 lim(2 1) 1 1    x x  分析 |f(x)A||(2x1)1|2|x1|  0 要使|f(x)A|  只要 2 | 1|  x  