今后在没有特别声明的情况下，都把内积空间看成是线性赋范空间， 其范数是由内积诱导出来的： 定义 完备的内积空间称为Hilbert空间. 例1.2-1.4给出的内积空间都是Hilbert空间.（只需证明这些空间 的内积诱导出的度量为第一章中对它们引入的度量即可) 由任何度量空间都可以完备化可推出任何内积空间必可完备化称 为Hilbert空间. 定理 设H是内积空间，川·‖是由内积诱导的范数，则下面的平行四边行等式 成立： lx+2+lx-2=2(l2+‖2)，Vx,y∈H. 泛函分析 November 1,2021 7/41今后在没有特别声明的情况下, 都把内积空间看成是线性赋范空间, 其范数是由内积诱导出来的. 定义 完备的内积空间称为 Hilbert 空间. 例 1.2–1.4 给出的内积空间都是 Hilbert 空间. (只需证明这些空间 的内积诱导出的度量为第一章中对它们引入的度量即可). 由任何度量空间都可以完备化可推出任何内积空间必可完备化称 为 Hilbert 空间. 定理 设 H 是内积空间, || · || 是由内积诱导的范数, 则下面的平行四边行等式 成立: ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ), ∀ x, y ∈ H. 泛函分析 November 1, 2021 7 / 41