3.用向量法证明以下各题： (1)三角形的余弦定理a2=b2+c2-2 bccos. (2)平行四边形成为菱形的充要条件是对角线互相垂直： (3)内接于半圆且以直径为一边的三角形为直角三角形： (4)三角形各边的垂直平分线共点月这点到各项点等距 (⑤)空间四边形对角线五相垂直的充要条件是对边半方和相等 证明：(1)如图1-21，△4BC中，设c=b,c=c,BC=a, .al=a,b|=b.c=c.a=b-c, 图1-11 a2=(i-cy2=62+c2-26.c=62+c2-26 llclcos4. 此即 a=b2+c2-2bccosA. (4)图1-22，设AB,BC边的垂直平分线PD,PE相交于P D,E,F为AB,BC,CA的中点，设PA=a,PB=b,PC=c, 则丽=万-a.死=-6，ā=8-，m=a-6 PE=(c+B). 因为PD⊥AB,PE⊥BC 所以 a-6x6-a)-=62-a-0 6-xc-i)=c-6=0 从而有a2=62=c2,即1aP=16=|c2, 图1-12 所以 5c+aa-8)a-e-0 所以PF⊥CA, 月1al=|b1=|cL 故三角形各边的垂直平分线共点月这点到各顶点等距. §1.8两向量的失性积 1.证明(a×b)2≤a2.62,并说明在什么情形下等号成立. [证明]：(a×b)2=|axbP=|a16sin2∠(a,b) aP bP=a2.62. 要使等号成立，必须sin2∠(a,b)=1,从而sin∠(a,b)=1, 故∠(a,6)=,即当a16时，等号成立 2 2.证明如果a+b+c=0,那么a×b=b×c=c×a,并说明它的几何意义. [证明]：山a+b+c=0,有(a+b+c)×c=0×c=0,但c×c=0, 于是a×c+b×c=0, 所以b×c=c×a. 同理山(a+b+c)×a=0,有c×a=a×b, 从而a×b=b×c=c×a